Физическое моделирование аппаратов с мешалками

     Найти трехмерные поля скорости и давления в аппарате с мешалкой путем аналитического решения уравнения движения (2.55) и неразрывности (2.16) даже в стационарном однофазном случае не представляется возможным. В связи с этим для описания перемешивания используется метод физического моделирования. Критерии гидродинамического подобия получаются путем преобразования системы дифференциальных уравнений (2.55), (2.16). Определяемым критерием, как правило, является критерий Эйлера, а определяющими – критерии Рейнольдса, Фруда и симплексы геометрического подобия. В качестве характерных величин обычно рассматриваются: перепад давлений между лобовой и кормовой сторонами лопасти вращающейся мешалки Dр; величина, пропорциональная окружной скорости мешалки w_окр; диаметр мешалки d_м. Тогда модифицированные критерии подобия для аппаратов с мешалками, связав окружную скорость с частотой вращения мешалки n, будут иметь вид

w_окр = pd_мn ~ d_мn,                                             (10.4)

 ,                    (10.5)

,                             (10.6)

  .                                   (10.7)

Симплексы геометрического подобия будут зависеть от конструкции аппарата и мешалки. Так, например, для аппарата, изображенного на рис. 10.1, приняты следующие обозначения:

D – диаметр (внутренний) аппарата;

H –его высота;

H_ж – высота слоя жидкости в сосуде;

h_м – высота лопасти;

h – расстояние от мешалки до днища аппарата.

В этом случае симплексы геометрического подобия примут вид

; ; ; .                 (10.8)

Тогда критериальное уравнение, описывающее гидродинамику процесса перемешивания, можно записать как

.                    (10.9)

Вид критериального уравнения зависит от конструкции мешалки, режима движения и находится обобщением опытных данных.

     При перемешивании механическими мешалками различают два режима перемешивания: ламинарный и турбулентный. Ламинарный режим (Re_м< 30) соответствует неинтенсивному перемешиванию, при котором жидкость плавно обтекает кромки лопасти мешалки, захватывается лопастями и вращается вместе с ними. При ламинарном режиме перемещаются только те слои жидкости, которые непосредственно примыкают к лопастям мешалки.

     С увеличением частоты вращения мешалки возрастает сопротивление среды вращению мешалки, вызванное турбулизацией пограничного слоя и образованием турбулентного кормового следа в пространстве за движущимися лопастями. Формируется вынужденная циркуляция, которая обеспечивает трехмерное течение жидкости в аппарате. Ориентировочно это соответствует числам Re_м = 10² - 10³.

     В области развитой турбулентности (Re_м > 10⁴) происходит интенсивное перемешивание жидкости. Приведенные критические значения критерия Рейнольдса являются приближенными и зависят от конструкции и размеров мешалки и аппарата (сосуда).

     На практике при расчете аппаратов с мешалками, как правило, необходимо определить не перепад давлений Dр, а требуемую мощность перемешивающего устройства. Поскольку мощность есть работа, совершаемая за единицу времени, а работа равна произведению силы на перемещение в направлении действия силы, то можно записать:

.                            (10.10)

Сила, заставляющая вращаться мешалку, уравновешивается силой сопротивления среды, равной перепаду давления, умноженному на площадь лопасти мешалки S. Величину S можно найти как произведение высоты лопастиh_м на ее диаметр d_м. Для нормализованных мешалок эти величины взаимосвязаны . Используя окружную скорость в (10.10), можно представить

,        (10.11)

.                                           (10.12)

Подставив Dр из (10.12) в выражение для критерия Эйлера мешалки (10.5), можно получить еще одну его модификацию, называемую критерием мощности K_N:

                                       (10.13)

Критерий мощности имеет зависимость, аналогичную (10.9). В случае, когда действием центробежной силы по сравнению с силой тяжести можно пренебречь (воронка у оси вращения имеет незначительную глубину), исключается влияние критерия Фруда:

, или .             (10.14)

Схема расчета мешалок

     Как уже отмечалось, цели перемешивания могут быть различными: приготовление эмульсий и суспензий, увеличение интенсивности
тепло – и массообменных процессов. Эффективность перемешивания оценивается, как правило, критерием Рейнольдса мешалки Re_м (10.6), его иногда называют центробежным критерием Рейнольдса и обозначают Re_ц. Эффективность перемешивания, необходимая для осуществления определенного процесса, находится из критериальных уравнений. Определяемым критерием при этом является, как правило, Re_м. Например, для достижения равномерного распределения твердых частиц в жидкости (приготовление суспензии) существуют эмпирические уравнения для различных типов мешалок, связывающие Re_м с критерием Архимеда и геометрическими симплексами:

.                                (10.15)

     Таким образом, первым этапом расчета является выбор нормализованной мешалки с учетом объема перемешиваемой среды и определение для нее из уравнений типа (10.15) критерия Рейнольдса. По величине Re_мможно найти из (10.6) число оборотов мешалки n. Затем рассчитываются критерий Фруда (10.7) и критерий мощности мешалки K_N (10.14). Далее определяют мощность, расходуемую на перемешивание в стационарном режиме N из (10.13). Если требуется найти установочную мощность электродвигателя, то ее увеличивают в 2 - 3 раза, учитывая необходимый запас для запуска мешалки (в момент запуска сопротивление лопастям мешалки оказывается значительно выше, вследствие большей скорости движения лопасти относительно покоящейся жидкости), а также потери энергии в самом электродвигателе (к.п.д. меньше единицы).

     Для мешалок периодического действия требуется определить продолжительность процесса перемешивания . C этой целью вводится критерий времени перемешивания K_t:

.                                   (10.16)

Минимальная величина данного критерия находится из эмпирических соотношений типа

.                              (10.17)

Поскольку процесс перемешивания может осуществляться с помощью мешалок различных типов, правомерна постановка задачи оптимизации, заключающаяся в выборе типа мешалки, обеспечивающей необходимую эффективность процесса при минимуме затрат.