Спектры некоторых периодических последовательностей

Спектральный состав периодической последовательности прямоугольных видеоимпульсов.

Рис. 1.6

,

где T_n – период повторения; Е – амплитуда импульса; t_u – длительность.

Отношение: Q = T_n/t_u – называется "скважностью".

Определим спектральный состав бесконечной последовательности видеоимпульсов. Находим постоянную составляющую:

Так как функция x(t) в пределах t_u – четная, то необходимо искать гармонические составляющие – a_k (b_k = 0).

Тогда ряд Фурье будет:

.  (1.6)

Исследуем полученное выражение. Здесь текущее, непрерывное значение имеет только сомножитель coskw₁t, тогда все остальные сомножители представляют численное выражение для спектральных составляющих, кратных w₁ = 2p/Т. Выражение в квадратных скобках – это число – численное значение гармонических составляющих, причем выражение  - представляет собой по переменной
k – функцию sinc x = (sin x)/x и соответствует огибающей гармонического ряда, она обращается в нуль в точках частоты, которые можно найти из условия:  что возможно, если wt_u/2 = p, откуда wt_u = 2p и
w = 2p/t_u тогда графическое отображение ряда Фурье будет (рис. 1.7):

Итак, спектральное разложение последовательности видеоимпульсов состоит из суммы дискретных гармонических составляющих, кратных 2p/Т, причем знак гармоник в разных "лепестках" графика отличается на 180°, что демонстрирует изменение их фазы на p и создает фазовый спектр.

С учетом разделения общего спектра на амплитудно-частотный и фазово-частотный графики спектрального разложения можно изобразить иначе (а также учтем, что w = 2pf  и перейдем к герцовой частоте – f):

а)

б)

Рис. 1.8

Обычно фазовочастотным спектром (рис. 1.8б) не интересуются (его упускают) и исследуют, в основном, амплитудно-частотный спектр, который жаргонно называют просто "спектр" (рис. 1.8а).

Рассмотрим влияние параметров последовательности видеоимпульсов на показатели амплитудного спектра.

А. Сначала изменим длительность импульса (t_u - var, Т = const). При увеличении длительности импульса (t_u2 = 2t_u1) спектр "сжимается" вдвое, при укорочении длительности (t_u3 = 0,5t_u1) спектр "расширяется" вдвое.

А1. Если в пределе длительность импульса устремить к нулю t_u ® 0 (это принятый в математике единичный импульс, у которого длительность
t_u ® 0, а площадь остается равной единице S = 1, обозначают этот импульс d(t₀) – дельта-импульс), то спектральный состав первого лепестка спектра импульса расширяется до бесконечности, превращаясь в равномерный спектр от 0 до ¥ со спектральной плотностью G₀.

А2. С другой стороны, при увеличении длительности импульса в пределе до бесконечности t_u ® ¥, получаем просто постоянный ток, спектральный состав которого выражается в одно единственное значение на частоте w = 0, т.е. значение постоянной составляющей.

Б. Теперь, не меняя длительности импульсов, будем изменять период повторения. t_u = const, Т – var.

Увеличим период вдвое, количество спектральных составляющих увеличится также вдвое, а расстояние по частоте сократится вдвое.

Рис. 1.11

Уменьшение периода повторения приводит к увеличению расстояния между дискретными гармониками. Уменьшим период повторения до величины Т = 2t_u, что приводит к колебанию типа "меандр" и построим для него спектр.