Спектральный анализ сигналов

СИГНАЛЫ

Основные определения

Теория передачи сигналов посвящена исследованию основных процессов в создании информации, ее электрическому отображению, преобразованию и передаче сигналов, представляющих полезную информацию. Иногда теорию передачи сигналов (ТПС) называют "общей теорией связи", что лишний раз подчеркивает назначение и применение выводов этой теории. ТПС содержит разделы: основы теории информации, теорию кодирования, теорию модуляции сигналов, основы помехоустойчивой обработки принимаемых сигналов. Под информацией понимают некоторые сведения о событиях или материальных системах. Формы представления информации, называемые сообщением, имеют разнообразный вид: текст, речь, данные на выходе ЭВМ, телевизионное изображение и т.д.

Физический процесс, переносящий информацию, называется сигналом. С информационной точки зрения сигналы можно разделить на детерминированные и случайные.

Детерминированный сигнал – такой сигнал, мгновенные значения которого в любой момент времени можно предсказать с вероятностью единица.

Периодический сигнал – это сигнал, любое значение которого повторяется через период Т, т.е. S(t) = S(t+T). -∞<t<∞.

Непериодический сигнал – сигнал, не подчиняющийся условию периодичности.

Случайный сигнал – такой сигнал, мгновенные значения которого заранее неизвестны и могут быть предсказаны лишь с некоторой вероятностью (сигналы речи, музыки, телеграфного кода). По существу, любой сигнал, несущий информацию, должен рассматриваться как случайный.

Параметры детерминированных сигналов:

1) Мгновенное значение сигнала (в заданный момент времени)
S* = S(t*); t* - заданный момент.

2) Максимальное значение сигнала - наибольшее мгновенное значение сигнала на протяжении заданного интервала времени: S_max = max S(t);
T* = t₂ – t₁ – заданный интервал времени.

Рис. 1.1.

3) Минимальное значение сигнала – наименьшее мгновенное значение в заданном интервале времени: S_min = min S(t); T* = t₂ – t₁/

4) Постоянная составляющая сигнала (среднее значение)

.

5) Переменная составляющая сигнала:

.

6) Наибольшее пиковое значение сигнала – наибольшее мгновенное значение переменной составляющей сигнала: S_~max.

7) Наименьшее пиковое значение сигнала – наименьшее мгновенное значение переменной составляющей сигнала: S_~min.

8) Размах сигнала R = S_max – S_min.

9) Средневыпрямленное значение сигнала (среднее значение модуля сигнала): . Кстати, большинство измерительных приборов (напряжения) измеряют средневыпрямленное значение и градуированы по синусоидному сигналу. Если сигнал не синусоидальный (искаженный) или случайный, нужно измерять напряжение по среднеквадратичному значению.

10) Среднеквадратичное значение сигнала: .

11) Период и частота повторения периодичного сигнала: ; ; Т = Т_повт.

12) амплитуда периодического сигнала – максимальное значение переменной составляющей периодического сигнала A(S) = max|S(t)|.

13) Длительность импульсного сигнала – длительность импульса на уровне 0,1А.

Рис. 1.2

14) Длительность фронта импульса t_ф – время нарастания (спадания) уровня импульса от 0,1 до 0,9А (амплитуды).

15) Скалывание вершины импульса С_k – величина спада вершины импульса за время его длительности.

16) Скважность импульсной последовательности Q – отношение периода повторения к длительности импульса Q = T/τ_и.

17) "Пачка" импульсов – несколько одинаковых импульсов, объединенных в пачку с общими (одинаковыми) параметрами.

18) Энергия сигнала на интервале t₂, t₁:

.

19) Средняя мощность на интервале t₂, t₁:

Литература:

[1] стр. 5-10; 17-23. [2] стр. 10-13; 29-36. [3] стр. 7-10.

Контрольные вопросы:

1. Что такое детерминированный сигнал?

2. Каковы условия периодического сигнала?

3. Что такое скважность импульсной последовательности?

4. Каковы параметры импульсного сигнала?

5. Что такое "пачка" импульсов?

Спектральный анализ сигналов

Любой сигнал x(t) математически может быть представлен набором простейших функций  (подобно разложению числа на сомножители). Главное требование к простейшим функциям – их единственность (уникальность) и непохожесть на другие функции. Это свойство исключительности набора простейших функций отражается в математике свойством ортогональности: (на некотором интервале (0,Т)):

.

Разложение сигнала на простейшие функции представляется рядом:

.

Коэффициенты ряда – С_k выбираются из условия минимума среднеквадратичной погрешности по отношению к исходному сигналу:

С_k находятся по формуле (с учетом нормировки)

.

При увеличении членов ряда n к бесконечности (∞) погрешность отображения исходной функции x(t) становится сколь угодно малой. Тогда такой ряд называют обобщенным рядом Фурье.

В качестве простейших ортогональных функций часто выбирают тригонометрический ряд:

.                            (1.1)

Совокупность коэффициентов ряда {C_k} называют спектром амплитуд или амплитудно-частотным спектром, а совокупность {j_k} - спектром фаз или фазово-частотным спектром. С учетом:

              (1.2)

и

получаем другую форму ряда Фурье:

,              (1.3)

где коэффициенты a_k и b_k определяется как:

; ; . (1.4)

Коэффициенты a_k называют косинусной (четной) составляющей, b_k - синусной (нечетной).

Разложение сигнальной функции на "простейшие" составляющие называют спектральным анализом или спектральным разложением. В тригонометрическом ряде Фурье в качестве "простейшей" функции принято синусоидальное (косинусоидальное) колебание одной частоты, называемое "гармоническим". Поэтому составляющие ряда Фурье называют "гармоники"; имея в виду, что ряд состоит из кратных -k- частот, т.е. кратных гармоник (первая гармоника, вторая гармоника … сотая гармоника …). Так как интервал ортогональности 0,Т – совпадает с периодом Т = 2p/w₁, то определение коэффициентов ряда производится в пределах интервала ортогональности (-Т/2, Т/2).

Рассмотрим пример спектрального разложения периодического колебания типа "меандр". Меандр – греческое слово, обозначающее "орнамент" (рис. 1.3).

а)                                          б)

Рис 1.3

  .

Выбор начала координат а) или б) определит состав гармонического разложения: по четным коэффициентам или не четным, это определяется видом функций x(t) в пределах (-Т/2, Т/2). В случае выбора начала координат по а) функция x(t) оказывается нечетной, т.е. х(-Т/2) = -х(Т/2), при этом в ряде Фурье остаются только члены b_k, определяемые нечетной функций синуса. Составляющие a_k оказываются при этом, равными нулю a_k = 0. В случае выбора начала координат по б) функция x(t) оказывается четной, и ряд Фурье будет определяться только составляющими a_k, b_k = 0. Постоянная составляющая, как видно из графика, равна нулю. Для случая а):

с учетом, что  и

.

Тогда ряд Фурье:

или с учетом w = 2πf

.      (1.5)

Полученный спектральный состав можно представить графически (рис. 1.4).

Рис. 1.4

Приведенный график называют "спектром". Синтез исходной временной функции по спектральным составляющим понятен из рис. 1.5.

Рис. 1.5