Применение производной для исследования функций и построения эскизов графиков функций

Первая производная

С помощью производной первого порядка (первой производной) мы можем определить экстремумы функции, а также промежутки возрастания и убывания функции.

Если в каждой точке интервала (a, b) f'(x)>0, то функция f(x) возрастает на этом интервале.

Если в каждой точке интервала (a, b) f'(x)<0, то функция f(x) убывает на этом интервале.

Возрастающие или убывающие функции называютсямонотонными.

Точка х₀ называется точкой минимума функции ƒ, если найдется такая окрестность точки х₀, что для всех х из этой окрестности справедливо неравенство .

Точка х₀ называется точкой максимума функции ƒ, если найдется такая окрестность точки х₀, что для всех х из этой окрестности справедливо неравенство .

Точки максимума и минимума называютсяточками экстремума, а значения функции в этих точках называютсяэкстремумами функций.

x₀называется критической точкой функции f(x), если

1) x₀ – внутренняя точка области определения f(x);

2) f'(x₀)=0 или f'(x0) не существует.

Условия существования экстремума

Необходимое условиеэкстремума:

Если x₀–точка экстремума функции f(x), то эта точка является критической точкой данной функции (критической точкой первого рода).

Достаточное условие экстремума:

Если при переходе через точку x₀производная функции меняет знак, то x₀– точка экстремума функции f(x).

Пример 6

Имеет ли уравнение корни на отрезке [0;2]?

Вторая производная

Вторая производная – или производная второго порядка – это производная от первой производной.

Для понимания смысла этого действия можно привести такой пример:

Пусть у нас есть формула, которой задается преодоленное объектом расстояние s в зависимости от времени t: . Тогда скорость объекта v – это первая производная от у: . А ускорение а, то есть скорость изменения скорости, - это вторая производная от у: .

При исследовании функции с помощью производной второго порядка (второй производной) мы можем определить промежутки выпуклости и вогнутости функции, а также точки перегиба.

График функции называется выпуклым на интервале, если он расположен ниже касательной, проведенной к кривой в любой точке этого интервала

График функции называется вогнутым на интервале, если он расположен выше касательной, проведенной к кривой в любой точке этого интервала

Теорема.Достаточное условие выпуклости (вогнутости) графика функции

Пусть функция дважды дифференцируема на интервале. Если ƒ′′(х) <0 на (a;b), то график функции выпуклый на (a;b); если ƒ′′(х)>0 на (a;b), то график функции вогнутый на (a;b).

Точкой перегиба называется точка графика функции, отделяющая его выпуклую часть от вогнутой, и наоборот.

Теорема. Необходимое условие точки перегиба

Если х₀– точка перегиба графика функции y=ƒ(x) и существует вторая производная в ней, то ƒ′′(х₀)=0.

Точки, в которых вторая производная функции равна нулю, называютсякритическими точками второго рода.

Критические точки могут и не быть точками перегиба.

Теорема. Достаточное условие точки перегиба

Если вторая производная дважды дифференцируемой функции при переходе через критическую точку второго рода х₀меняет знак, то х₀есть абсцисса точки перегиба графика этой функции.

«Воображариум»

Семинар 2-7

Марта 2018

1. По определению выведите производную для функции

2. Найти все с, при которых функции  монотонно возрастает при всех х.

3. Число 18 разбить на два слагаемых так, чтобы сумма их квадратов была наименьшей.

4. Найти площадь треугольника, отсекаемого осями координат и касательной к графику функции в точке .

5. Найти вторую производную для функции .

Домашнее задание 2-7

1. Вычислить:

2. Найти точки максимума функции  и ее наименьшее значение на отрезке

3. При каких а функция  имеет положительную точку максимума?

4. Прямая касается графика функции в точке с абсциссой . Эта прямая, ось Ох и прямая х=4 ограничивают треугольник. При каких а его площадь будет наибольшей? Найти эту наибольшую площадь.

5. Прямая  является касательной к графику функции . Найдите абсциссу точки касания.

6. Найти наибольшее значение функции  на отрезке

7. При каких значениях а функция  возрастает на отрезке ?

8. Вычислить площадь треугольника, ограниченного осями координат и касательной к графику функции  в точке с абсциссой .

9. Найти координаты точек пересечения с осью абсцисс касательных к графику функции , которые образуют угол  с осью ОX.

10. Найти точки перегиба и промежутки выпуклости/вогнутости функции для .