Геометрический смысл производной

Лекция 2-7

Производная

Монотонность, выпуклость. Касательная к графику в точке

Определение производной и ее смысл

Пусть есть тропинка, по которой можно идти то вверх, то вниз, не сворачивая при этом ни вправо, ни влево

Допустим, мы хотим понять, насколько крутой уклон нас ждет впереди. Чтобы измерить эту крутизну, нужно понять, насколько сильно (круто) увеличивается высота при перемещении вперед на единицу расстояния:

.

Если мы поднимаемся, то K>0, если спускаемся, K<0. Если дорога ровная, без уклона, то K=0.

Возникает вопрос, что взять за единицу расстояния. Если взять слишком большую величину, может оказаться так, что это расстояние включит в себя, например, холм, и мы не поймем, что в процессе уклон будет меняться.

Чтобы не сталкиваться с такой проблемой, в математике берется бесконечно малая величина, то есть в нашем примере крутизна уклона будет измеряться как

.

Собственно, это и будет производная. Она показывает скорость изменения функции в данной точке.

Производная функции – это предел отношения приращения функции к приращению её аргумента при стремлении приращения аргумента к нулю, если такой предел существует.

Функцию, имеющую конечную производную в данной точке, называют дифференцируемойв этой точке, а процесс вычисления производной - дифференцированием. Функция дифференцируема на множестве точек (например, на отрезке, интервале или на всей области определения), только если она дифференцируема в каждой точке этого множества.

Пример 1

По определению выведите производную для функции .

Правой (левой) производной функции f(x) в точке x₀ называется предел справа (слева) отношения приращения функции к приращению аргумента при стремлении последнего к нулю.

Теорема (1)

Функция имеет производную в точке , если в этой точке существуют и равны между собой производные справа и слева.

При этом .

Обратное также верно: если в точке  существуют и равны между собой производные справа и слева, то функция имеет производную в этой точке.

Функцияf(x) называется непрерывнойв точке х₀, еслиf(x) имеет пределв точке х₀, и этот пределсовпадает со значением функцииf(x₀): .

Функция непрерывна на множестве, если она непрерывна в каждой точке этого множества.

График непрерывной функции является непрерывной линией.

Теорема (2)

Если функция имеет производную в точке , то функция непрерывна в этой точке.

Пример 2

Проверить существование производной функции  в точке х=0.

Производные элементарных функций

·

·

·

·

·

·

·

·

·

·

·

·

·

·

Правила вычисления производной

· Производнаяконстанты (числа) равнанулю:

· , гдеc–константа

· Производнаясуммы (разности) равнасумме (разности) производных:

· Производнаяпроизведения:

· Производнаяотношения: при

· Производнаясложнойфункции: еслифункция имеетпроизводнуювточке , афункция имеетпроизводнуювточке , тосложнаяфункция имеетпроизводнуювточке , причем

Пример 3

Найти производную от .

Пример 4

Дана функция . Нужно найти  и .

Геометрический смысл производной

в точке  равна угловому коэффициенту (тангенсу угла наклона) касательной к графику функции  в точке .

Уравнение касательнойк кривой  в точке :

Фактически это уравнение прямой, проходящей через точку  и имеющую угловой коэффициент .

Пример 5

В каких точках касательная к графику функции образует с Ох угол в 45 градусов?