Проверка гипотезы о средних

Пусть имеются две выборки, характеризующиеся средними значениями и , дисперсиями и .

Выдвигается гипотеза, что эти средние равны , т. е

Для проверки основной гипотезы используют критерий

Так как , , при справедливости нулевой гипотезы будем иметь .

Используя свойства дисперсии и предполагая выборки независимыми, получим:

Сделав дополнительное предположение, что дисперсии обеих совокупностей равны, т.е. получим:

.

Предположение о равенстве дисперсий нуждается в специальной проверке, о чем речь пойдет в следующем разделе.

Подставляя это выражение в формулу для критерия, получаем:

Если обе выборки достаточного большого объема (больше 30 элементов), то случайная величина и случайная величина имеют нормальное распределение, поэтому нормально будет распределен и критерий .

Если нам неизвестна дисперсия генеральной совокупности , то её заменяют на несмещенную выборочную оценку .

Придем к нормально распределенному критерию:

Дальнейшая проверка ведется обычным образом с использованием таблиц функций распределения Лапласа.

Если выборки малого объема (элементов менее 30) и применение нормального распределения может привести к ошибкам, для того же критерия Z используют t-распределение Стьюдента с числом степеней свобода k=n₁ +n₂ -2.

Сравнение дисперсий

Пусть имеются две нормально распределенные выборки, дисперсии которых равны ; нулевая гипотеза .

Так как дисперсии генеральных совокупностей неизвестны, проверка гипотезы осуществляется на основе сопоставления выборочных дисперсий и . Если отношение / близко к 1, нет оснований отклонять нулевую гипотезу, если значительно отличается – гипотеза отклоняется. Для решения вопроса, насколько большим должно быть отличие выборочных дисперсий, чтобы отклонение нулевой гипотезы было достаточно обоснованным, используется отношение

, если ( )

или

; если ( )

Распределение этого отношения, называющееся F–распределением Фишера – Снедекора, зависит от двух параметров – чисел степеней свободы числителя и знаменателя: и , где и – объемы выборок. Числа и указываются в фигурных скобках рядом с вычисленным значением F:

Критическая область строится в зависимости от вида альтернативной гипотезы:

1. Нулевая гипотеза . Альтернативная гипотеза , если ( ).

По заданному α и известным и по таблице распределения Фишера – Снедекора находим критическое значение . Проверка гипотезы H0 сводится к следующему правилу: если отношение выборочных дисперсий , гипотеза H0 отклоняется; если , гипотеза H0 не отклоняется.

2. Альтернативная гипотеза .

В этом случае строим симметричную двустороннюю критическую область с критическими точками и , определяемыми из неравенств

;

Правая критическая точка находится непосредственно по таблице критических точек распределения Фишера – Снедекора для уровня значимости и степеней свободы и . Левых критических точек таблица не содержит, но, при выбранном симметричном способе построения критической области, достигается попадание критерия F в критическую область с вероятностью, равной уровню значимости .Так как из определения уровня значимости , то выбирая , мы одновременно достигаем и . Проверка гипотезы H0 производится по тому же правилу, что и в случае односторонней критической области, но табличные значения критерия ищутся для значения , вдвое меньшего, чем заданный уровень значимости: если отношение выборочных дисперсий , нулевая гипотеза H0 отклоняется, если гипотеза H0 не отклоняется.