Синтез управления при неполном измерении

На практике не всегда известна информация о векторе состояния  в силу трудности измерений или отсутствия его физического смысла. В связи с этим рассмотрим задачу синтеза закона управления для случая, когда измеряются только выходной сигнал  и управляющий сигнал .

Поскольку компоненты вектора  недоступны для измерения, введем наблюдающее устройство (НУ), описываемое уравнением

                    ,              (12)

где – -вектор состояния,  – -вектор параметров выбирается так, чтобы выполнялось условие  при . Если начальные условия вектора  заранее не известны, то принимается .

Вычтем из уравнения (6) уравнение (12), тогда с учетом  и обозначения  получим

                                    .                             (13)

Поскольку определитель матрицы равен определителю транспонированной матрицы, то выполняется равенство

и, следовательно, вектор параметров , назначающий желаемые корни характеристического уравнения

                                          ,                                    (14)

можно найти по методике п.1.1, заменяя соответственно матрицу  на , вектор  на , вектор  на , матрицу управляемости  на матрицу

                                        ,

которая называется матрицей наблюдаемости системы (6). При этом задача синтеза имеет решение, если определитель .

Таким образом, для решения поставленной задачи необходимо выполнение условий управляемости, наблюдаемости исходной системы (6).

Закон управления будем формировать в виде

                                       ,                                (15)

заменяя в исходном законе управления (7) вектор  на его оценку . Структурная схема алгоритма управления ЦВМ представлена на рис. 2, где наблюдающее устройство (НУ) описывается уравнением (12).

Если вектор  выбрать так, чтобы корни ,  характеристического уравнения (14) по модулю были меньше корней  уравнения (10), то переходный процесс наблюдающего устройства (12) или (13) протекает быстрее, чем для вектора  и, следовательно, при  выполняется условие . Тем самым за время, меньшее времени переходного процесса замкнутой системы (6), (12), (15), наблюдающее устройство позволяет измерить вектор  по измеряемым сигналам , , .

Если корни характеристического уравнения (14) по модулю сравнимы с корнями  уравнения (10), то за время переходного процесса не удается измерить вектор  и в этом случае наблюдающее устройство выполняет роль только корректирующего устройства.

Исходную систему (6), замкнутую управлением (15), можно представить в виде

                      .                          

Учитывая, что  при , то в силу устойчивости системы решение  будет стремиться к установившемуся значению , которому в свою очередь согласно предыдущему соответствует .

Поскольку координата  измеряется, в законе управления (15) вместо координаты  будем использовать координату :

                              ,                       (16)

Рассмотрим также вопрос о возможности понижения размерности НУ. Для этого систему (6) при  запишем в виде:

,

.

Из первого уравнения найдем измеряемый сигнал

                          .                 (17)

Тогда для второго уравнения можно записать уравнение НУ пониженного порядка

,

в которое подставим выражение (17). После преобразования получим

Введем вспомогательную переменную , тогда с учетом выражения  получим уравнение НУ пониженной размерности:

,  (18)

где в качестве начального условия принимается значение .

Неизвестный параметр  определяется из условия устойчивости корня характеристического уравнения . Полагая , найдем .

Расчётная часть

Проведем расчет параметров закона управления (5) с НУ полного порядка (12) и пониженного прядка (17) для исходных данных: , , с, , . Зададим корни эталонной модели , ; корни ,  для НУ полного порядка, и корень  для НУ пониженного порядка.

Синтез закона управления проведем с помощью программы составленной в Script-файле, который можно скопировать вместе с вспомогательным S-файлом с именем 'DiskrNU' из приложения к лабораторной работе:

% Исходные данные

n=2; a11=-0.6; a12=0.7; T0=0.1;g0=1; x0=[-1;0]; delta=0;

p(1)=-2; p(2)=-2.5;% желаемые корни эталонной модели

pn(1)=-5; pn(2)=-6;% желаемые корни эталонной модели НУ

pp=-5; % желаемый корень эталонной модели НУ пониженного порядка

A0=[a11 a12;0 0]; b0=[0;1]; c=[1 0]; dA0=delta*A0;

% Синтез управления при полном измерении

sys=ss(A0,b0,eye(n),zeros(n,1));sysd=c2d(sys,T0);

[A,b,C,d]=ssdata(sysd);%построение дискретной модели

z=exp(p*T0);r=-place(A,b,z);% синтез вектора r по корням p

re=1/(c*inv(eye(n)-(A+b*r))*b);rx=r+re*c;

% Синтез управления при неполном измерении

zn=exp(pn*T0);l=-place(A',-c',zn)% синтез вектора l по корням pn

% Синтез НУ пониженной размерности

z1p=exp(pp*T0);

lp=(A(2,2)-z1p)/A(1,2);

ap=A(2,2)-lp*A(1,2);bp=[b(2)-lp*b(1) (z1p-A(1,1))*lp];

disp('Результаты');re,rx,l,lp

sim('DiskrNU');figure(1);simplot(y);figure(2);simplot(x2)

В результате выполнения программы определяются параметры  re,  rx;  l; lp:

re =

5.9016

rx =

2.8612 -3.3380

l =

0.7864 2.6130

lp =

5.7913

С помощью S-файла с именем 'DiskrNU' (рис. 3), вызываемого из программы, строятся переходные процессы (рис. 4) по кординатам  и  для НУ полного порядка (отмеченного серым цветом) при положении ключа "KL" в верхнем положении, и переходной процесс по выходной координате  (рис. 5).

Для использования в законе управления НУ пониженного порядка необходимо в схеме рис. 3 сменить полежение ключа "KL".

Рис. 3

Рис. 4

Рис. 5

1. Для исходных данных , , с, ,  и, заданного преподавателем варианта задания из таблицы 1, провести расчет параметров закона управления (16) с НУ полного и пониженного порядка полагая: 1) , ;  2) , .

Таблица 1.

Вариант задания			, с
1	–1,5	–2	0,2
2	–2	–2,5	0,15
3	–2,5	–3	0,1
4	–3	–3,5	0,05
5	–3,5	–4	0,02

2. Построить и сравнить переходные процессы по координатам  и  и выходу ; сделать выводы о работе НУ.

Экспериментальная часть

1. Провести исследование влияния изменения параметров ОУ на процесс оценки координаты  и качество переходных процессов замкнутой системы с (5), (16). Для этого в Script-файле необходимо задать: начальные условия ; , ; значение параметра delta, которое характеризует одновременное изменение коэффициентов матрицы  на %, в соответствии с таблицей 2 и промоделировать систему при НУ полного и пониженного порядка. Показатели качества переходной характеристики  занести в таблицу 2.

Таблица 2.

Значение	НУ полного порядка			НУ пониженного порядка
		, с	, %		, с	, %
0,1
0,2
0,3
–0,1
–0,2
–0,3

2. По результатам таблицы 2 сделать выводы о возможности измерения координаты  с помощью НУ.

Контрольные вопросы

1. Влияет ли нелинейность насыщения управляющего сигнала на работу НУ?

2. При каких условиях в замкнутой линейной системе можно назначить произвольные корни характеристического уравнения?

3. При каких условиях по выходу системы можно измерить вектор состояния системы?

4. Как должны располагаться на комплексной плоскости корни характеристического уравнения НУ для измерения вектора состояния?

5. Какова размерность НУ пониженного порядка?

6. Зависит ли точность измерения вектора состояния от вида управляющего сигнала?

7. Зависит ли точность измерения вектора состояния от изменения параметров ОУ?

8. Зависит ли рассогласование в рассмотренной системе от изменения параметров ОУ?

Список литературы

1. Бесекерский В.А., Попов Е.П. Теория систем автоматического управления. – С.-Петербург: изд. «Профессия», 2003.

2. Шамриков Б.М. Основы теории цифровых систем управления. М.: Машиностроение, 1985.

3. Гаркушенко В.И., Земляков А.С., Файзутдинов Р.Н. Нелинейные и дискретные системы автоматического управления. Уч. пособие. Казань: КГТУ им. А.Н. Туполева, 2000.