Синтез управления при полном измерении

ТЕОРИЯ АВТОМАТИЧЕСКОГО УПРАВЛЕНИЯ

ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА № 10

СИНТЕЗ ДИСКРЕТНЫХ ДИНАМИЧЕСКИХ РЕГУЛЯТОРОВ

Казань 2007

Содержание

1. Общие сведения. 3

1.1. Математическое описание ОУ.. 4

1.2. Синтез управления при полном измерении. 6

1.3. Синтез управления при неполном измерении. 9

2. Расчётная часть. 12

3. Экспериментальная часть. 15

Список литературы.. 16

Цель работы: проведение синтеза дискретного наблюдающего устройства, осуществляющего измерение неизвестных координат вектора состояния систему, с помощью вычислительного пакета MATLAB и системы Simulink.

Общие сведения

Особенностью современных САУ является их высокая размерность и неполная информация о векторе состояния системы. В том случае, когда известна  математическая модель объекта управления (ОУ), для контроля неизвестных координат вектора состояния и решения задачи синтеза управления необходимо использовать наблюдающие устройства (НУ).

Рассмотрим дискретно-непрерывную САУ, структурная схема которой приведена на рис. 1. Здесь ЦВМ в контуре управления выполняет функции устройства сравнения и регулятора, формирующего по алгоритму управления (АУ) на выходе управляющий сигнал. Здесь на вход системы подается постоянный управляющий сигнал , который считается неизвестным.

С помощью аналого-цифрового преобразователя (АЦП) сигнал преобразует в дискретный сигнал  для моментов времени ,  с периодом квантования по времени . Сигнал  поступает в ЦВМ, в которой с учетом измеряемого сигнала обратной связи  формируется рассогласование  и управляющий сигнал, поступающий на вход цифро-аналогового преобразователя (ЦАП). ЦАП с помощью формирователя импульсов (Ф) преобразует дискретный сигнал в кусочно-постоянный

                       при , .               (1)

В качестве обобщенного ОУ рассматривается совокупность исполнительного устройства, объекта управления и датчика измерения выхода . При правильной работы системы выход систему  должен отслеживать входной сигнал .

В дальнейшем для простоты будем полагать, что ошибками квантования по уровню АЦП и ЦАП можно пренебречь и их коэффициенты передачи отнесены к коэффициенту передачи ЦВМ.

Математическое описание ОУ

Рассмотрим систему стабилизации скорости оборотов вала турбореактивного двигателя. Запишем уравнения динамики данной системы в отклонениях от заданного режима.

1. Турбореактивный двигатель. Для одновального ТРД с нерегулируемым соплом и дозвуковым входным диффузором линеаризованные уравнения поведения ТРД в окрестности выбранного установившегося режима можно записать в виде:

                                                                      (2)

где - коэффициент передачи, – постоянная времени,  – измеряемое отклонение числа оборотов от его значения в установившемся режиме, – неизмеряемое отклонение расхода топлива от его значения в установившемся режиме.

С учетом обозначений , , ;  уравнение (2) примет вид

                                       .                                 (3)

2. Исполнительное устройство. Исполнительные устройства, применяемые в системах управления числом оборотов ротора ТРД, как правило, с достаточной степенью точности можно описать уравнением интегрирующего звена

                                                 ,                                           (4)

где  – управляющий сигнал.

Тогда систему уравнений ТРД (3), (4) можно представить в виде

                                                                                  (5)

где - вектор состояния ( ),  управляющий сигнал,  выходной сигнал; - матрица, - вектор, - вектор-строка:

, , .

Поскольку САУ является дискретно-непрерывной, построим ее эквивалентную модель для дискретных моментов времени . Для этого опишем поведение системы (5) на интервале времени . С учетом фиксатора нулевого порядка  при  из выражения

найдем уравнение для дискретного момента времени :

                                                (6)

где , .

Поскольку для обеспечения требуемого качества переходного процесса недостаточно одного измеряемого сигнала , требуется построить оценку вектора состояния  и сформировать закон управления , обеспечивающий заданное качество переходных процессов замкнутой системы.

Решение задачи проведем в два этапа: сначала рассмотрим случай полного измерения вектора состояния , а затем перейдем к решению исходной задачи.

Синтез управления при полном измерении

При полном измерении вектора  закон управления примем в виде

                          ,                      (7)

где .

Найдем вектор  и параметр  из условия обеспечения заданного качества переходных процессов и нулевой установившейся ошибки .

1. Рассмотрим задачу определения вектора , полагая . Для этого с помощью неособого преобразования ,  систему (6) приведем к виду

                                    ,

где

, , .

Для определения матрицы преобразования  используем матрицу управляемости . Учитывая свойства , , , матрицу  перепишем в виде

                      .

Отсюда найдем матрицу , которая будет неособой при , . Условие  всегда выполняется в силу структуры матрицы , что легко проверяется. Поэтому если система управляема, то  и существует неособая матрица преобразования . Коэффициенты  матрицы  определяются из характеристического полинома , поскольку выполняется равенство                                   

Тогда, формируя закон управления в виде  с вектором коэффициентов , получим уравнение замкнутой системы

                                                                                  (8)

с матрицей

                       ,

где коэффициенты  определяются по формулам , .

Уравнению (8) соответствует характеристическое уравнение

                             .

Отсюда следует, что если задать желаемые коэффициенты , , которым соответствуют желаемые корни замкнутой системы , , то можно найти соответствующие коэффициенты , . С учетом обратного преобразования  закон управления будет иметь вид , т.е. искомый вектор  определяется по формуле

                                                   .                                               (9)

Для задания желаемых коэффициентов ,  можно воспользоваться следующим подходом. По стандартным характеристическим полиномам непрерывных эталонных систем [1]:

с известными коэффициентами , , при которых переходная характеристика имеет желаемый вид, определяются корни ,  и соответствующие желаемые корни дискретной системы , . При этом коэффициенты  находятся из равенства

               .         (10)

2. Определим теперь параметр  из условия обеспечения нулевой установившейся ошибки. Для этого замкнутую систему (6), (7) перепишем в виде

                                     ,

где матрица . Отсюда для установившегося режима при ,  найдем

                                         .                                             

Тогда из выражения ошибки  получим формулу

                                    ,

из которой при  найдем искомый коэффициент

                                          .                                    (11)

Таким образом, с помощью формул (9), (11) находим требуемые значения , по которым определяем вектор  в законе управления (7).