Решение предоставленное сайтом Решу ЕГЭ

Исследовательская работа

Формула Пика и ее применение

Работу выполнили

Ученицы 9 класса

Габдуллина Луиза

Карпенко Анастасия

Руководитель:

Хмелевских Ольга Ивановна

Октябрьское, 2018

Содержание

Введение…………………………………………………………………………...31.Историческая справка…………………………………………………………..4
2Доказательство…………………………………………………………………...4

Введение

«…В математике …ни в одном доказательстве не ссылаются здесь на то, что так лучше или хуже, да и вообще ничего подобного никому здесь даже на ум не приходит. Вот почему некоторые софисты, например Аристипп, относились к математике пренебрежительно: в остальных искусствах, мол, даже в ремесленнических, например в плотничьем и сапожном, всегда ссылаются на то, что так лучше или хуже, математическое же искусство совершенно не принимает во внимание хорошее и дурное. »

Аристотель

В задачах по геометрии часто требуется вычислить площадь многоугольника. Причем он может иметь довольно разнообразную форму – от всем знакомого треугольника до некоторого n-угольника с каким-то невообразимым числом вершин. К тому же эти многоугольники бывают выпуклыми или вогнутыми. В каждой конкретной ситуации полагается отталкиваться от внешнего вида фигуры. Так получится выбрать оптимальный путь решения задачи. Решая задание ОГЭ по математике, мы рассматривали различные способы нахождения площади многоугольника на клетчатой бумаге, и наш учитель представил нам формулу Пика, которая значительно упростила решение, и сильно заинтересовала нас своей простотой и большим спектром применения. Благодаря этому мы решили написать исследовательскую работу на эту тему и подробнее рассмотреть применение формулы Пика при решении задач на нахождение площади многоугольников на клетчатой бумаге.

Цель работы:Ознакомиться с формулой Пика, показать различные приемы решения геометрических задач с использованием формулы Пика, систематизировать и обобщить полученные знания.

Задачи исследования:
1.Проверить эффективность и целесообразность применения формулы при решении задач;
2.Научиться применять формулу Пика в задачах разной сложности;
3.Сравнить задачи, решенные с помощью формулы Пика и традиционным способом.

Объект исследования: формула Пика.

Предмет исследования: рациональность применение формулы Пика при решении задач.

Историческая справка

Георг Алекса́ндр Пик (10 августа 1859 — 13 июля 1942) — австрийский математик, родился в еврейской семье. Мать — Йозефа Шляйзингер , отец — Адольф Йозеф Пик. Георг, который был одарённым ребёнком, обучался отцом, возглавлявшим частный институт. В 16 лет Георг окончил школу и поступил в Венский университет. В 20 лет получил право преподавать физику и математику. Шестнадцатого апреля 1880 года под руководством Лео Кёнигсбергера Пик защитил докторскую диссертацию «О классе абелевых интегралов». В 1881 году он получил место ассистента у Эрнста Маха, который занял кафедру физики в Пражском университете. Чтобы получить право чтения лекций, Георгу необходимо было пройти хабилитацию. Для этого он написал работу «Об интеграции гиперэллиптических дифференциалов логарифмами». Это произошло в 1882 году, вскоре после разделения Пражского университета на чешский (Карлов университет) и немецкий (Университет Карла-Фердинанда). Пик остался в Немецком университете. В 1884 году Пик уехал в Лейпцигский университет к Феликсу Клейну. Там он познакомился с другим учеником Клейна, Давидом Гильбертом. Позже, в 1885 году, он вернулся в Прагу, где и прошла оставшаяся часть его научной карьеры.

Доказательство

Формула Пи́ка (или теорема Пи́ка) — классический результат комбинаторной геометрии и геометрии чисел, согласно которому площадь многоугольника с целочисленными вершинами равна

В + Г / 2 − 1,где В — количество целочисленных точек внутри многоугольника, а Г — количество целочисленных точек на границе многоугольника.

В частности, площадь треугольника с вершинами в узлах и не содержащего узлов ни внутри, ни на сторонах (кроме вершин), равна 1/2. Этот факт даёт геометрическое доказательство формулы для разницы подходящих дробей цепной дроби.

Доказана Георгом Пиком в 1899 году.

Пусть В – число узлов решетки, расположенных строго внутри многоугольника, Г – число узлов решетки, расположенных на его границе, включая вершины, — его площадь. Тогда справедлива формула Пика: S=В+Г/2-1.
Пример 1. Вычислить площадь многоугольника, изображенного на клетчатой бумаге по формуле Пика. S = В + Г/ 2 – 1

В = 14, Г = 8, S = 14 + 8/2 -1= 17 ( кв.ед.)

Покажу справедливость формулы Пика. Сначала заметим, что формула Пика верна для единичного квадрата.

Действительно, в этом случае имеем: В=0, Г=4 и S=0+4/2-1=1.

Фундаментальный квадрат порождает решетку, то есть решетку можно построить следующим образом. Отметим вершины квадрата. Затем сдвинем его параллельно одной из его сторон на длину этой стороны и отметим две вновь полученные вершины. Если этот процесс продолжать сначала в одном направлении до длины a, а затем полученную полоску сдвинем параллельно себе в направлении другой стороны квадрата на длину этой стороны до длины b, то получим решетку.

Причем, число узлов решетки, лежащих внутри решетки, В = (а-1)(b-1), а число узлов решетки, расположенных на его границе, Г = 2a + 2b.

Рассмотрим прямоугольник со сторонами, лежащими на линиях решетки. Пусть длины его сторон равны и . Имеем в этом случае, В=(а-1)(b-1), Г=2a+2b, тогда по формуле Пика S= (a -1)(b-1) +(2a+2b)/2 -1 = ab-a-b+1+a+b-1=ab. Получили формулу площади прямоугольника со сторонами a, b.

Рассмотрим теперь прямоугольный треугольник с катетами a и b. Такой треугольник получается из прямоугольника со сторонами a и b, рассмотренного в предыдущем случае, разрезанием его по диагонали. Пусть на диагонали лежат c целочисленных точек. Тогда для этого случая, В= ((а-1)(b-1)-c+2 , )/2 Г=(2a+2b )/2+с-1 и получаем, что S = ((a-1)(b-1)-c+2)/2 + (a+b+c-1)/2 -1 = ab/2- a/2 - b/2 - c/2 + 3/2 +a/2 + b/2 + c/2 - 1/2 - 1 = ab/2. Таким образом, получили формулу для вычисления площади прямоугольного треугольника. Значит, формула Пика верна для прямоугольного треугольника.
Теперь рассмотрим произвольный треугольник. Его можно получить, отрезав от прямоугольника несколько прямоугольных треугольников и, возможно, прямоугольник. Поскольку и для прямоугольника, и для прямоугольного треугольника формула Пика верна, мы получаем, что она будет справедлива и для произвольного треугольника.

Применение

Пример 1

Решение предоставленное сайтом Решу ЕГЭ

Площадь четырехугольника равна сумме площадей двух прямоугольных треугольников и площади трапеции. Поэтому

Решение по формуле Пика

Обозначим В- внутренние узлы, Г-пограничные узлы

В=3, Г=6, S=?

По формуле Пика вычисляем

Пример 2