Методические особенности обучения учащихся решению

Нестандартных задач

В методике преподавания математики нет единой точки зрения на проблему постановки и обучения учащихся решению нестандартных задач. Отметим основные положения методики решения таких задач, описанные в специальной литературе.

Среди исследований, посвященных вопросам обучения учащихся решению нестандартных задач, прежде всего следует выделить работы Ю.М. Колягина. В его докторской диссертации выявлены роль и место задач в процессе формирования математической культуры, рассмотрены основные функции задач, охарактеризованы основные этапы процесса решения задач, разработана система требований к использованию задач и комплекс требований к системе задач школьного курса математики, сформулированы основные положения методики обучения решению задач, приведены рекомендации для учителей по подбору учебных задач.

Ю.М. Колягиным рассматривается умение решать задачи, отмечается, что это умение «образует сложный комплекс, в состав которого входят активно действующие математические знания (и соответствующие им специальные умения и навыки), опыт в применении знаний и определенная совокупность сформированных свойств мышления» [9, С.152], так называемых «мыслительных умений». Ю.М. Колягиным разработана система эвристик для каждого этапа решения задачи и методические положения, соблюдение которых будет способствовать более эффективной организации работы учащихся над решением нестандартных задач.

В известных книгах Д. Пойа [10,11] изложены и систематизированы основные приемы решения задач. Основные положения автор представил в виде таблицы вопросов и советов. Выделим некоторые из них:

- изучите неизвестное;

- известна ли вам какая-нибудь родственная задача;

- рассмотрите неизвестное;

- нельзя ли иначе сформулировать задачу;

- вернитесь к определениям;

- сохраните только часть условия;

- нельзя ли придумать другие данные, из которых можно бы было определить неизвестное.

В докторской диссертации В.И. Крупича [8, С.99-100] выделены следующие виды поиска решения задач:

1. «Полный перебор вариантов решения», то есть поиск посредством систематических проб, по порядку обследующих все возможные ходы на каждом этапе решения.

2. «Случайный поиск», при котором направление решения определяется по чисто случайному критерию.

3. «Выборочный поиск» («слепой поиск»), когда очередной ход выбирается на основании предыдущего.

4. «Эвристический (упорядоченный) поиск», использующий определенным образом эвристическую информацию, заключенную в задаче. При эвристическом поиске вследствие отбрасывания явно неперспективных направлений происходит уменьшение объема поиска.

В исследованиях Л.М. Фридмана и Е.Н. Турецкого [14] отмечается, что

особенности нестандартных задач определяют различные частные способы их решения, однако можно выделить такие методы решения нестандартных задач, как:

- расчленение на стандартные или более простые задачи с помощью разбиения на части условия задачи (объекта задачи, требований задачи);

- замена данной задачи ей равносильной с помощью преобразования условия (замены переменных, замены объекта другими);

- введения вспомогательных элементов для сближения данных и искомых величин (расчленение задачи на части, придание задаче определенности).

А.А. Столяр выделяет «три вида учебных ситуаций, связанных с решением задачи:

1) решение стандартной задачи, общий метод решения которой еще неизвестен учащимся;

2) решение стандартной задачи, общий метод решения которой известен учащимся;

3) решение нестандартной задачи» [12, С.31].

При этом отмечается, что ситуации требуют различных стратегий обучения. В первом случае такая стратегия «должна быть ориентирована на открытие учащимися (с помощью учителя) общего метода решения всех задач данного класса»; во втором случае – «на обучение распознаванию принадлежности частных задач к классу задач, решаемых определенными, уже известными методами»; в третьем случае – «на обучение методам поиска решений». Возникает важный вопрос: где целесообразно использовать нестандартные задачи? В методике преподавания математики представлены различные мнения по этому вопросу. Так, Б.М. Ивлев и др. [2] предлагают решать нестандартные задачи на внеклассных занятиях, так как для этого не хватает времени на уроках. Однако слабоуспевающие учащиеся не посещают факультативов и кружков, следовательно, при таком подходе они лишены возможности решать нестандартные задачи, и математика так и остается для них скучным и однообразным предметом. Кроме того, по мнению В.А. Тестова «материал для упражнений в существующих … учебниках подается в слишком однообразной форме» [13, С.141], учебники перегружены однотипными задачами, поэтому время на уроке можно найти за счет сокращения числа таких задач. Психологи отмечают, что утомляемость у старших учащихся наступает уже через 20-25 минут после начала урока, такое состояние учащийся может преодолеть, столкнувшись с необычным фактом, проблемой, задачей. Многие учителя предлагают нестандартные задачи в качестве необязательного домашнего задания. Безусловно, необходимо продумывать ход решения такой задачи дома, однако только совместное обсуждение с товарищами и учителем решения на уроке позволит ощутить дух состязательности, соревнования, ознакомиться с различными методами решения, обобщить необходимые факты и способы решения.

Ю.М. Колягин и В.А. Оганесян [6, С.28] отмечают, что с некоторыми

приемами решения таких задач учащиеся могут быть ознакомлены на уроках.

А.А. Столяр, А.А. Окунев, Н.П. Кострикина и др. указывают на необходимость и возможность решать нестандартные задачи систематически на уроках со всеми учащимися.

Мы придерживаемся именно такой точки зрения, так как такие задачи способствуют целенаправленному развитию творческих способностей учащихся, их математическому развитию, формированию у них познавательного интереса и самостоятельности.

Выявление основных этапов процесса решения задач является одной из возможных его характеристик. Кроме того, управление деятельностью учащихся осуществляется, как правило, в этом аспекте. Эффективность обучения учащихся решению задач во многом определяется той «разумной последовательностью методических подкреплений, обучением учащихся определенным приемам мыслительной деятельности на том или ином этапе процесса решения задачи» [5, С.152].

В методике преподавания математики общепринято деление процесса решения задачи на четыре основных этапа:

1) осмысление условия задачи;

2) составление плана решения;

3) осуществление плана решения;

4) изучение найденного решения.

«Нередко поиск решения пронизывает весь процесс решения задачи и содержит несколько циклов вида: анализ ситуации – возникновение плана решения – попытка реализации плана – констатация неудачи» [8, С.83]. В исследовании В.И. Крупича обосновывается вывод о том, что поиск решения является базисом и ориентировочной основой процесса решения задачи. При этом такое понимание сущности второго этапа позволяет утверждать, что «процесс решения задачи можно считать с достаточной степенью достоверности адекватным поиску ее решения» [8, С.85].

Процесс решения нестандартных задач включает перечисленные выше этапы, однако имеет свою специфику. Так, в работе Л.М. Фридмана и Е.Н. Турецкого приведена схема поиска решения нестандартных задач [14], в которой выделены следующие основные этапы:

1) анализ задачи и построение вспомогательной модели;

2) вычленение из условия более простых задач или разбиение условия

на подзадачи;

3) введение вспомогательных элементов;

4) переформулировка задачи.

Задачи являются ведущей формой учебной деятельности в процессе изучения математики, эффективным средством развития учащихся, способствует формированию у учащихся системы основных математических знаний, умений, навыков. Поэтому в практике современного обучения математике на решение задач отводится большая часть учебного времени как на уроках, так и при выполнении домашних заданий. Однако, как отмечается в ряде исследований [4,7] для практики обучения математике в массовой школе характерна стандартизация содержания и методов решения задач, которая проявляется в стремлении учителя решить возможно большее число задач в ущерб качеству знаний, в наличии большого числа задач, направленных на формирование умений и навыков, почти не применяющихся в дальнейшей деятельности, в излишнем внимании учителя к оформлению решения, а не к самому процессу поиска решения [9, С.134]. Задачи используются преимущественно для закрепления готовых знаний, их повторения или для контроля знаний в самостоятельных и контрольных работах [5]. Учащиеся часто не умеют критически оценивать ход решения и результат задачи [14, С.3]. Учащимся предлагаются одна за другой готовые, сформулированные задачи, которые они должны решить, сверяя получившиеся результаты с ответами. Добившись совпадения с ответом, ученик на этом работу над задачей прекращает [13, С.141].

Неэффективность использования большей части учебного времени на решение стандартных задач отрицательно сказывается на качестве обучения математике в целом. Действительно, В.В. Давыдов отмечал, что содержание и методы обучения проектируют соответствующий тип мышления. Развивая это положение, было бы правомочно утверждать, что «методическая система учебных математических задач проектирует соответствующий ей тип математического мышления» [9, С.137]. Следовательно, в результате решения задач, направленных преимущественно на закрепление готовых знаний, повторение и контроль усвоения программного материала, формируются мыслительные умения, характеризующие репродуктивную деятельность - установка на запоминание и воспроизведение информации.

Задачи эвристического типа содержатся, как правило, в разделе «Задачи повышенной трудности». Такое положение нередко приводит к тому, что «напуганные» названием раздела ученики не пытаются решать такие задачи. В.А. Тестов в учебном издании «Стратегия обучения математике» пишет, что «нестандартные математические задачи в наименьшей степени связаны с конкретным математическим материалом и требуют не столько знания каких-то отдельных математических фактов и частных методов, сколько универсальных приемов математического мышления» [13, С.264].

Существует небольшое количество учебных пособий для учащихся, затрагивающих различные вопросы, связанные с решением нестандартных задач.

Кратко остановимся на их рассмотрении.

В исследованиях Л.М. Фридмана и Е.Н. Турецкого [14] предпринята попытка познакомить учащихся с некоторыми положениями, касающимися сущности задач и их решения, выделить умения и навыки, входящие в общую деятельность по решению задачи. Особое внимание уделено необходимости стимулирования постоянного анализа учащимися своей учебной деятельности по решению задачи и выделению в ней общих подходов и методов.

Работа Ю.М. Колягина и В.А. Оганесяна «Учись решать задачи» [6] рассчитана на учеников 8-9 классов. Авторы стремились к тому, чтобы учащиеся могли изучать ее самостоятельно. Это пособие содержит рекомендации по решению нестандартных задач, сами задачи и задания для самостоятельной работы. Учащихся знакомят с некоторыми особенностями поисковой деятельности, связанной с решением незнакомой задачи.

Учебное пособие Б.М. Ивлева и др. «Задачи повышенной трудности по алгебре и началам анализа» [2] адресовано учащимся, интересующимся математикой, и является, по замыслу авторов, приложением к учебнику «Алгебра и начала анализа: для 10-11 кл. сред. шк.» (под ред. А. Н. Колмогорова). Отметим, что этот сборник содержит именно задачи повышенной трудности и не содержит задач, требующих творческого подхода к решению. Основная трудность, возникающая при решении задач из этого сборника, заключается в проведении более сложных в техническом отношении выкладок, а не в поиске самого решения.

Книга М. Балк, Г. Балк [1] предназначена учащимся старших классов и

рассказывает об использовании эвристических приемов в математике. В ней

формулируются вопросы общего характера, которые могут облегчить поиск решения, и показывается (на сравнительно сложных задачах), как срабатывают эти общие приемы. Книга представлена в форме описания занятий математического кружка и в основном рассчитана на хорошо подготовленного ученика.

Отметим, что в перечисленных работах даются рекомендации учащимся, направленные на взаимодействие с компонентами задачи, на актуализацию собственных знаний и опыта.

Все вышесказанное позволяет сделать вывод о несовершенстве методической системы нестандартных задач для старших классов.

Умение творчески решать задачу «означает всестороннее  анализирование условий, умение воздерживаться от поспешных действий, поиски способов решения в разнообразных направлениях, гибкое варьирование этих способов, умение предвидеть последующий ход решения при выборе того или иного способа действия, переосмысливание содержащихся в условии понятий, расширение (по выражению Е.Н. Кабановой-Меллер) условия задачи, то есть самостоятельный переход от тех понятий, какие даны в условии, к тем необходимым для решения понятиям, которые в условии не упомянуты» [3, С. 148-149]. Формированию этого умения способствует обучение учащихся эвристическим приемам умственной деятельности.

В силу специфики нестандартных задач не существует общих методов их решения. Однако в процессе решения нестандартных задач можно выделить две основные операции:

1) сведение (путем преобразования или переформулирования) нестандартной задачи к другой, ей эквивалентной, но уже стандартной задаче;

2) разбиение нестандартной задачи на несколько стандартных подзадач [14].

Таким образом, одним из способов решения проблемы «сухости» математики является решение нестандартных задач на уроках со всеми учащимися.

Эффективное обучение учащихся решению нестандартных задач может быть достигнуто в результате формирования у учащихся обобщенных эвристических приемов умственной деятельности, рассмотрения нескольких способов решения задачи и привлечения учащихся к самостоятельному составлению задач.