Таврическая академия (структурное подразделение) ФГАОУ ВО «КФУ им. В. И. Вернадского»

Факультет математики и информатики

Олимпиада для поступающих по программам бакалавриата и специалитета в 2018 году

Профильная дисциплина «МАТЕМАТИКА»

Вариант 2

В заданиях 1 – 5 необходимо дать только ответ.

1. Прямая  является касательной к графику функции . Найдите c. (1 балл)

2. Найдите , если . (1 балл)

3. Независимое агентство намерено ввести рейтинг новостных интернет-изданий на основе оценок информативности In, оперативности Op, объективности публикаций Tr, а также качества сайта Q. Каждый отдельный показатель – целое число от 0 до 4.

.

Найдите, каким должно быть число А, чтобы издание, у которого все показатели максимальны, получило бы рейтинг 1. (1 балл)

4. Из пункта A круговой трассы выехал велосипедист. Через 10 минут он еще не вернулся в пункт А и из пункта А следом за ним отправился мотоциклист. Через 2 минуты после отправления он догнал велосипедиста в первый раз, а еще через 3 минуты после этого догнал его во второй раз. Найдите скорость мотоциклиста, если длина трассы равна 5 км. Ответ дайте в км/ч. (1 балл)

5. Найдите точку максимума функции . (1 балл)

В заданиях 6 –12 необходимо привести обоснованное решение задачи.

6. Дано уравнение

А) Решите уравнение.

Б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку

(2 балла)

7. В основании пирамиды  – трапеция  с большим основанием . Известно, что сумма углов  и  равна , а плоскости  и  перпендикулярны плоскости основания, прямые  и  пересекаются в точке .

а) Доказать, что плоскость  перпендикулярна плоскости .

б) Найдите объем , если , а высота пирамиды  равна .

(2 балла)

8. Решить неравенство

(2 балла)

9. Квадрат ABCD вписан в окружность. Хорда CE пересекает его диагональ BD в точке K.

а) Докажите, что

б) Найдите отношение CE и KE, если

(3 балла)

10. Гражданин Петров по случаю рождения сына открыл 1 сентября 2008 года в банке счет, на который он ежегодно кладет 1000 рублей. По условиям вклада банк ежегодно начисляет 20% на сумму, находящуюся на счете. Через 6 лет у гражданина Петрова родилась дочь, и 1 сентября 2014 года он открыл в другом банке счет, на который ежегодно кладет по 2200 рублей, а банк начисляет 44% в год. В каком году после очередного пополнения суммы вкладов сравняются, если деньги со счетов не снимают?

(3 балла)

11. Найдите все значения a , при каждом из которых уравнение

имеет ровно три различных корня.

(4 балла)

12. Целое число S является суммой не менее трех последовательных членов непостоянной

арифметической прогрессии, со сто я щей из целых чисел.

а) Может ли S равняться 8?

б) Может ли S равняться 1?

в) Найдите все значения, которые может принимать S .

(4 балла)