Федеральное государственное автономное образовательное учреждение высшего образования

Министерство образования и науки Российской Федерации

Федеральное государственное автономное образовательное учреждение высшего образования

«Крымский федеральный университет имени В. И. Вернадского»

Таврическая академия (структурное подразделение) ФГАОУ ВО «КФУ им. В. И. Вернадского»

Факультет математики и информатики

Олимпиада для поступающих по программам бакалавриата и специалитета в 2018 году

Профильная дисциплина «МАТЕМАТИКА»

Вариант 1

В заданиях 1 – 5 необходимо дать только ответ.

1. Прямая  является касательной к графику функции . Найдите b, учитывая, что абсцисса точки касания больше 0. (1 балл)

2. Найдите , если . (1 балл)

3. Независимое агентство намерено ввести рейтинг новостных интернет-изданий на основе оценок информативности In, оперативности Op, объективности публикаций Tr, а также качества сайта Q. Каждый отдельный показатель – целое число от 1 до 5.

Составители рейтинга считают, что объективность ценится вчетверо, а информативность публикаций – втрое дороже, чем оперативность и качество сайта. Таким образом, формула приняла вид

.

Если по всем четырём показателям какое-то издание получило одну и ту же оценку, то рейтинг должен совпадать с этой оценкой. Найдите число А, при котором это условие будет выполняться. (1 балл)

4. Два мотоциклиста стартуют одновременно в одном направлении из двух диаметрально противоположных точек круговой трассы, длина которой равна 5 км. Через сколько минут мотоциклисты поравняются в первый раз, если скорость одного из них на 5 км/ч больше скорости другого? (1 балл)

5. Найдите наименьшее значение функции  на отрезке . (1 балл)

В заданиях 6 –12 необходимо привести обоснованное решение задачи.

6. Дано уравнение

А) Решите уравнение.

Б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку

(2 балла)

7. Основанием четырехугольной пирамиды  является прямоугольник ,

причем , . Высота пирамиды падает в центр прямоугольника. Из вершин  и  опущены перпендикуляры  и  на ребро .

а) Докажите, что точки  – середина ,

б) Найдите угол между гранями  и , если .

(2 балла)

8. Решить неравенство

(2 балла)

9. Диа­го­наль AC раз­би­ва­ет тра­пе­цию ABCD с ос­но­ва­ни­ем AD и BC, из ко­то­рых AD боль­шее, на два по­доб­ных тре­уголь­ни­ка.

а) До­ка­жи­те, что ∠ABC = ∠ACD.

б) Най­ди­те от­ре­зок, со­еди­ня­ю­щий се­ре­ди­ны ос­но­ва­ний тра­пе­ции, если из­вест­но, что BC = 18, AD = 50 и

.

(3 балла)

10. Первичная информация разделяется по серверам №1 и №2 и обрабатывается на них. С сервера №1 при объёме   Гбайт входящей в него информации выходит 20t Гбайт, а с сервера №2 при объёме  Гбайт входящей в него информации выходит 21t Гбайт обработанной информации; 25 < t < 55.

Каков наибольший общий объём выходящей информации при общем объёме входящей информации в 3364 Гбайт?

(3 балла)

11. Найдите все значения a , при каждом из которых уравнение

имеет ровно три различных корня.

(4 балла)

12. Даны n различных натуральных чисел, составляющих арифметическую прогрессию

а) Может ли сумма всех данных чисел быть равной 10?

б) Каково наибольшее значение n , если сумма всех данных чисел меньше 1000?

в) Найдите все возможные значения n , если сумма всех данных чисел равна 129.

(4 балла)

Министерство образования и науки Российской Федерации

Федеральное государственное автономное образовательное учреждение высшего образования

«Крымский федеральный университет имени В. И. Вернадского»