Касательная плоскость и нормаль к поверхности. Экстремум функции нескольких переменных.

Пусть функция z=f(x,y) дифференцируема в точке  некоторой области . Рассечем поверхность S, изображающую функцию z, плоскостями x=  и y= . Плоскость x=  пересекает поверхность S по некоторой линии , уравнение которой получается подстановкой в выражение исходной функции z=f(x,y) вместо х числа . Точка  принадлежит кривой . В силу дифференцируемости функции z в точке  функция  также является дифференцируемой в точке y= . Следовательно, в этой точке в плоскости x=  к кривой  может быть проведена касательная . Построим касательную  к кривой  в точке x= . Прямые  и  определяют плоскость , которая называется касательной плоскостью к поверхности S в точке . Составим ее уравнение. Так как плоскость  проходит через точку , то ее уравнение может быть записано в виде А( ) + В( ) + С( )=0, которое можно переписать так:  (разделив уравнение на –С и обозначив А/-С= , В/-С= ). Найдем  и . Уравнения касательных имеют вид: ;  соответственно. Касательная  лежит в плоскости . . В итоге . Следовательно, . Искомое уравнение касательной плоскости: . Прямая, проходящая через точку  и перпендикулярная касательной плоскости, построенной в этой точке поверхности, называется ее нормалью. Каноническое уравнение нормали: .

Экстремум ф-ции нескольких переменных. Теорема(необходимые условия экстремума): Если в точке N( , ) дифференцируемая функция z=f(x,y) имеет экстремум, то ее частные производные в этой точке равны нулю: . Док-во: Зафиксируем одну из переменных. Положим, y= . Тогда получим ф-цию  одной переменной, которая имеет экстремум при x- . Следовательно, согласно необходимому условию экстремума функции одной переменной, , т.е. . Замеч.: ф-ция может иметь экстремум в точках, где хотя бы одна из частных производных не существует. Точка, в которой частные производные первого порядка функции z=f(x,y) равны нулю, т.е. , называется стационарной точкой функции z. Стационарные точки и точки, в которых хотя бы одна частная производная не существует, называются критическими точками. В критических точках функция может иметь экстремум, а может и не иметь. Равенство нулю частных производных является необходимым, но не достаточным условием существования экстремума. Теорема(достаточное условие экстремума): Пусть в стационарной точке  и некоторой ее окрестности функция F(x,y) имеет непрерывные частные производные до второго порядка включительно. Вычислим в точке  значения обозначим . Тогда: 1.Если , то функция f(x,y) в точке  имеет экстремум: максимум, если A<0, минимум, если A>0; 2.Если , то функция f(x,y) в точке  экстремума не имеет. В случае  экстремум в точке  может быть, может не быть. Необходимы дополнительные исследования.

Условный экстремум функции нескольких переменных. Наибольшее и наименьшее значение функции нескольких переменных в области.