Методические рекомендации к изучению некоторых вопросов модуля «Числовые последовательности»

Числовые последовательности в школьном курсе математик

КУРСОВАЯ РАБОТА

студентки 2 курса 261 группы

направления 44.03.01 – «Педагогическое образование (профиль – математическое образование)» механико-математического факультета

Ровшенова Арзув

Научный руководитель

старший преподаватель _________________________  С.В. Лебедева

Зав. кафедрой

к.п.н., доцент                 _________________________  И.К. Кондаурова

Саратов 2018

СОДЕРЖАНИЕ

ВВЕДЕНИЕ......................................................................................................... 3

1 Модуль «Числовые последовательности» в содержании школьного курса математики............................................................................................................................. 4

2 Методические рекомендации к изучению некоторых вопросов модуля «Числовые последовательности».......................................................................................... 5

ЗАКЛЮЧЕНИЕ................................................................................................. 14

СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННЫХ ИСТОЧНИКОВ......................................... 15

ПРИЛОЖЕНИЯ................................................................................................ 16

Приложение А. Логико-дидактический анализ теоретического материала темы по учебнику «Алгебра» под ред. Ш. А. Алимова................................................ 16

Приложение Б. Анализ задачного материала темы «Прогрессии» в учебнике «Алгебра» под ред. Ш. А. Алимова................................................................................... 28

ВВЕДЕНИЕ

Актуальность

Степень разработанности

Различные аспекты изучения числовых последовательностей а рассматривались в работах отечественных педагогов-математиков и методистов:  указать кем

Цель работы – выявить особенности изучения числовых последовательностей в современном курсе математики.

Для достижения поставленной цели, сформулируем и решим следующие задачи:

1. Выявить точки вхождения модуля «Числовые последовательности» в содержание школьного курса математики.

2. Разработать методические рекомендации по изучению избранных вопросов модуля «Числовые последовательности».

Основной метод – обзорно-аналитическое исследование.

Курсовая работа состоит из введения, двух глав, заключения, списка использованных источников и приложений.

В 1 главе приводятся

Во 2 главе даётся

В этой же главе

В заключении сформулированы основные выводы по работе.

Список использованных источников содержит 10 наименований.

В приложения вынесен логико-дидактический анализ теоретического и задачного материала темы  «Прогрессии».

Основные положения исследования, проводимого в рамках курсовой работы, докладывались на следующих конференциях:

–

По результатам исследования опубликована статья «???» в сборнике «???» (Город, 2018)

Модуль «Числовые последовательности» в содержании школьного курса математики

Спонятием последовательности учащиеся встречаются уже в начальной школе. Младшие школьники знакомятся с различными последовательностями натуральных чисел (четных, нечетных, кратных 3, делящихся на 3 с остатком 1 и т.п.), учатся выявлять закономерности в их построении и находить следующий за известным член последовательности. В 5/6 классах, изучая понятия квадрата и куба числа, учащиеся получают представление о последовательности квадратов и кубов натуральных чисел. При построении координатной прямой знакомятся с последовательностями положительных и отрицательных чисел. В 7-9 классах при использовании табличного способа задания функции задают последовательность значений аргументов и вычисляют соответствующую последовательность значений функции и т.д.

Систематическое изучение темы «Числовые последовательности» в общеобразовательной школе начинается в 9 классе. Учащиеся знакомятся с частными случаями числовых последовательностей – арифметической и геометрической прогрессиями. Все программы для общеобразовательных школ, гимназий, лицеев по математике для 9 класса предусматривают изучение темы «Числовые последовательности» в объеме не менее 16 часов.

В классах с углубленным изучением математики и предпрофильных классах рассматриваются, кроме прочего, свойства монотонности, ограниченности и сходимости последовательностей. В старших, профильных, классах вводится понятие предела последовательности и рассматриваются его свойства.

Выписать из ФУНДАМЕНТАЛЬНОГО ЯДРА ОБЩЕГО ОБРАЗОВАНИЯ и ФГОС всё, что качается последовательностей.

Методические рекомендации к изучению некоторых вопросов модуля «Числовые последовательности»

Понятие числовой последовательности вводится в учебной литературе по-разному. Каждый автор предлагает свое определение последовательности. Например, в [3] числовая последовательность рассматривается как множество действительных чисел. В [4] автор вводит числовую последовательность как функцию натурального аргумента. В [5] последовательность определяется как ряд чисел, полученных по определенному правилу.

В связи c таким разнообразим определений понятия числовой последовательности возникает задача выбора оптимального варианта изучения данной темы в рамках общеобразовательной школы.

Наиболее удачный вариант изложения темы «Числовые последовательности» предложен, на наш взгляд, в учебнике [?].

Материал темы представляет собой отдельную главу под названием «Прогрессии», состоящую из трех параграфов: «Числовые последовательности» «Арифметическая прогрессия», «Геометрическая прогрессия». Автор [4] дает строгое определение числовой последовательности как функции натурального аргумента. Подробно описаны способы задания числовой последовательности: аналитический, словесный и рекуррентный. Каждый способ иллюстрируется достаточным количеством примеров для лучшего понимания материала. Рассматривая числовую последовательность как частный случай числовой функции, автор переформулирует некоторые свойства функций и для последовательностей, в частности вводит определения возрастающей и убывающей числовой последовательности.

Арифметическая и геометрическая прогрессии рассматриваются как рекуррентно заданные числовые последовательности. Для прогрессий используется специальные обозначения, известные еще из истории математики (для арифметической «÷», для геометрической «÷÷»). Формула n-го члена прогрессии доказывается методом математической индукции. Характеристические свойства прогрессий формулируются в виде теорем.

В 4 используется исторический материал. Например, опираясь на идею решения одной старинной задачи, которую применил немецкий математик Гаусс в возрасте 5 лет, автор предлагает вывести формулу суммы членов конечной арифметической прогрессии. Использование исторического материала способствует повышению качества ее усвоения.

Одним из наиболее широко используемых в школьной практике учебников является [5]. Отметим недостатки изучения темы «Числовые последовательности» по учебнику [5].

Понятие числовой последовательности строго не определяется, а вводится с помощью примеров.

Не вводится понятие монотонной (возрастающей и убывающей) последовательности.

Не дается акцент на характеристические свойства прогрессий (не выделяются как отдельные свойства).

Количество составных текстовых задач, решаемых с помощью различных алгебраических моделей, явно недостаточно.

С целью устранения отмеченных недостатков можно предложить следующие методические рекомендации.

1. Определение понятий

Определение 1. Последовательность { }, , называется возрастающей, если для любого номера   выполняется неравенство  и убывающей, если для любого номера выполняется неравенство

Последовательность { }, , называется неубывающей, если  , и невозрастающей , если  , для любого номера n.

Например: 1, 2, 3, 4, 5, … – последовательность возрастающая;

1, 0, -1, -2, -3, -4, -5, … – последовательность убывающая;

1, 1, 2, 3, 3, 4, 5, 5, :6, … – последовательность неубывающая;

11, 10, 10, 9, 8, 8, 7, 6, … – последовательность невозрастающая.

Все такие последовательность называются монотонными.

Возрастающие и убывающие последовательности называют строгомонотонными.

Определение 2. последовательность  называются монотонно возрастающей (убывающей), если найдется такой номер  , выполняется неравенство .

Теорема 1. Если последовательность  возрастающая (убывающая) и с – некоторые число, то:

– возрастающая (убывающая) последовательность;

– возрастающая (убывающая) последовательность при ;

 – убывающая (возрастающая) последовательность при

В частности, если последовательность  – возрастающая (убывающая), то последовательность – убывающая (возрастающая).

Например. Последовательность - возрастающая. Тогда последовательность и  – возрастающие, а последовательности и   -  убывающие.

Теорема 2. Если одна из последовательностей и возрастающая, а другая неубывающая, то:

- возрастающая последовательность;

 возрастающая последовательность, если  , при любых ;.

 -  убывающая  последовательность, если  при любых n.

Например. Последовательность – возрастающая, а последовательность  , где – целая часть числа  - неубывающая. Тогда последовательности   и  возрастающая. Последовательность  – возрастающая, а последовательность  – неубывающая. Члены последовательностей – отрицание числа. Тогда последовательность – убывающая.

2. Расширение имеющийся в учебнике задачного материала:

А) Тестовым заданиями, проверяющими степень освоения теоретического материала:

1) Если в арифметической прогрессии первый и десятый члены соответственно равны 30 и 12, то сумма двенадцати первых членов равна

а) 228                  б) 226              в) 210                    г) 180

2) В геометрической прогрессии b₁=64, q=–1/2. В каком случае при сравнении членов этой прогрессии знак неравенства поставлен неверно?

а) b₂< b₃                   б) b₃> b₄                   в) b₄>b₆                      г) b₅>b₇

3) Членом арифметической прогрессии 3; 6; 9; 12; … является число

а) 83                         б) 95                        в) 100                     г) 102

4) Арифметической прогрессией является последовательность

а) натуральных степеней числа 2;    б) натуральных чисел, кратных 7;

в) квадратов натуральных чисел;     г) чисел, обратных натуральным.

5) Геометрической прогрессией является последовательность

а) натуральных степеней числа 3; б) натуральных чисел, кратных 3;

в) кубов натуральных чисел;             г) чисел, противоположных натуральным.

6) Формулой n-ого члена геометрической прогрессии, заданной условиями: = 3, , – является

7) Последовательность задана формулой . Какое из указанных чисел является членом этой последовательности?

а) 1                        б) 2                     в) 3                   г) 4

8) Среди членов последовательности, заданной формулой нет числа

a)                   б)                        в)                   г)  .

9) Среди членов последовательности такой,     что   нет числа

а) 21              б) 235                   в) 610             г) 987

10) Последовательность 1, 2, 3, … не может быть задана следующим образом

а)     б)

в)       г) .

Б) Задачами, в которых идет речь о различных последовательностях (не являющихся арифметической и геометрической прогрессиями), для формирования обобщённого понятия числовой последовательности

1. Последовательность  определена и для n ≥ 1. Найдите

2. Найдите если ,  и

3. Последовательность определена формулой . Она возрастающая или убывающая?

4. Последовательность  определена следующим: , и . Она возрастающая или убывающая?

5. Последовательность задана формулой . Сколько членов в этой последовательности больше 2?

6. Первый член числовой последовательности равен 1, каждый из двух следующих равен 2, каждый из трех следующих за ними равен 3 и т.д. Чему равен 2017-й член этой последовательности?

7. Последовательность определена формулой . Найдите сумму первых двадцати её членов.

8. Последовательность  определена формулой . Найдите сумму первых 33 её членов.

В) Задачами на поиск закономерности, для развития гибкости, нестандартности и оригинальности мышления, формирования аналитических способностей:

1. Числа от 1 до 120 выписаны в 15 строк, как показано на рисунке. В каком из столбцов (считая слева) сумма чисел самая большая?

2. Числа от 1 до 120 выписаны в 15 строк, как показано на рисунке. В каком из столбцов (считая слева) сумма чисел самая большая?

3. Какое время должны показывать часы под номером 5, чтобы продолжить определенную последовательность.

4. Найдите закономерность и подставьте числа вместо многоточия: 1, 2, 2, 4, 8, 11, …, 37, 148, 153, 765, 771, …, 4633, …

5. Девочка заменила каждую букву в своём имени её номером в русском алфавите. Получилось число 2011533. Как её зовут?

6. В одной школе есть 1000 шкафов для одежды с номерами 1, 2, . . . , 1000, которые на ночь запираются. В этой школе живёт 1000 привидений. Ровно в полночь 1-е привидение открывает все шкафы; затем 2-е закрывает шкафы с номерами, делящимися на 2; затем 3-е меняет состояние (открывает, если шкаф закрыт и наоборот) тех шкафов, номер которых делится на 3 и т.д. 1000-е меняет состояние шкафа с номером 1000, после чего привидения исчезают. Сколько шкафов останутся открытыми?

7. Найдите закономерность и подставьте числа вместо многоточия: 1, 2, 3, 12, 21, 23, …, 312, 123, 1221, …, …, …

8. Найдите закономерность и подставьте числа вместо многоточия:

1, 2, 3, 3, 6, 18, 54, 324, …, …, …

9. Найдите закономерность и подставьте числа вместо многоточия:

1, 2, 2, 3, 2, 4, 2, 4, …, …, …

10. На клетчатой бумаге нарисована фигура: в верхнем ряду – одна клеточка, во втором сверху – три клеточки, в следующем ряду – 5 клеточек, и т.д., всего рядов – n. Докажите, что общее число клеточек есть квадрат некоторого числа.

11. Таблица имеет форму ромба со стороной длины n. В первой строчке таблицы стоит одно число 1. Во второй – два числа – две двойки, в третьей – три четверки, и так далее (здесь нарисован квадрат 4 ´ 4, но решить задачу нужно не только для этого частного случая, а желательно для любого натурального n). В каждой следующей строчке стоит следующая степень двойки. Длина строчек сначала растет, а затем убывает так, чтобы получился ромб. Докажите, что сумма всех чисел таблицы есть квадрат некоторого целого числа

Г) Олимпиадными задачами для развития математических способностей учащихся, выявления одарённых учащихся:

1. Членами математического клуба являются 12 мальчиков и 8 девочек. Каждую неделю в клуб принимают двух новых девочек и одного мальчика. Сколько будет членов в клубе в тот день, когда мальчиков и девочек станет поровну?

2. Улитка взбирается на ветку длиной 10 дм. За день она поднимается на 4 дм, а за ночь сползает вниз на 3 дм. Через сколько дней улитка достигнет конца ветки?

3. Белоснежка раздавала семи гномам грибы. Каждый следующий гном получал на один гриб больше предыдущего, а все вместе они получили 707 грибов. Сколько грибов получил последний гном?

4. В студию танцев приняли 60 мальчиков и 20 девочек. Каждую неделю уходят 2 мальчика и приходят 3 новые девочки. Сколько танцоров будет в студии, когда число мальчиков и девочек сравняется?

5. Васе на 23 февраля подарили 777 конфет. Вася хочет съесть все конфеты за k дней, причем так, чтобы каждый из этих дней (кроме первого, но включая последний) съедать на одну конфету больше, чем в предыдущий. Для какого наибольшего числа k это возможно?

6. Лена записала шесть различных натуральных чисел, сумма которых равна 22. Лёша записал сто различных натуральных чисел, сумма которых равна 5051. Лена угадала, какие числа записал Лёша, и Лёша угадал, какие числа записала Лена. Как им это удалось?

7. Петя и Вася выписывают 12-значное число, ставя цифры по очереди, начиная со старшего разряда. Начинает Вася. Докажите, что какие бы цифры он не писал, Петя всегда сможет добиться, чтобы получившееся число делилось на 9.

8. Лёша и Лена решали задачи у доски, а все остальные откровенно бездельничали. Лена, решив свою задачу, записала четыре числа, составляющие арифметическую прогрессию, Лёша, решив свою задачу, записал четыре числа, составляющие геометрическую прогрессию. Учитель, стерев условия и решения обеих задач, сложил одноимённые члены обеих прогрессий и получил числа: 27, 27, 39, 87, по которым за 5 минут предложил всему классу восстановить ответы решавших у доски. Попробуйте сделать это и вы.

3. Сбалансировать материал темы, сделав его более наглядным.

Так как прослеживается явная аналогия между понятиями прогрессий, то следует переструктурировать тему так, чтобы соответствующие дидактические единицы изучались совместно. Можно обойтись и без этого, но по окончании изучения прогрессий совместно с учащимися на уроке повторения и обобщения материала разработать таблицу сравнений – таблицу 1.

Таблица 1. Визуализация теоретического материала темы «Прогрессии»
Арифметическая прогрессия	Геометрическая прогрессия
Определение. Числовая последовательность
а1, а2, а3,…,аn,…	b1, b2, b3,…,bn,…
называется
арифметической	геометрической
прогрессией, если для всех натуральных n выполняется равенство:
an+1=an+d,	bn+1=bn*q,
где
d- некоторое число	q-некоторое число
d= an+1-an – разность	q= bn+1/bn, q≠0, bn≠0 – знаменатель
Характеристическое свойство
Числовая последовательность
а1, а2, а3,…,аn,…	b1, b2, b3,…,bn,…,
является
арифметической	геометрической
прогрессией тогда и только тогда, когда
Формула n-го члена
арифметической	геометрической
прогрессии
аn=a1+(n-1)d	bn=b1*qn-1

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

.Сформулируем основные выводы по работе

Актуальность

С понятием последовательности учащиеся встречаются с начальной школы: знакомятся с различными последовательностями натуральных чисел (четных, нечетных, кратных 3, делящихся на 3 с остатком 1 и т.п.), учатся выявлять закономерности в их построении и находить следующий за известным член последовательности. В 5/6 классах учащиеся получают представление о последовательности квадратов и кубов натуральных чисел, знакомятся с последовательностями положительных и отрицательных чисел на координатной прямой. В 7-9 классах при использовании табличного способа задания функции задают последовательность значений аргументов и вычисляют соответствующую последовательность значений функции и т.д.

Систематическое изучение темы «Числовые последовательности» в общеобразовательной школе начинается в 9 классе. Учащиеся знакомятся с частными случаями числовых последовательностей – арифметической и геометрической прогрессиями. Все программы для общеобразовательных школ, гимназий, лицеев по математике для 9 класса предусматривают изучение темы «Числовые последовательности» в объеме не менее 16 часов.

В классах с углубленным изучением математики и предпрофильных классах рассматриваются, кроме прочего, свойства монотонности, ограниченности и сходимости последовательностей. В старших, профильных, классах вводится понятие предела последовательности и рассматриваются его свойства.

Более глубокому знакомству учащихся с числовыми последовательностями на уроках математики способствуют:

1. Введение определение понятий, связанных с монотонностью последовательностей.

2. Расширение имеющийся в учебнике задачного материала:

а) тестовым заданиями, проверяющими степень освоения теоретического материала;

б) задачами, в которых идет речь о различных последовательностях (не являющихся арифметической и геометрической прогрессиями), для формирования обобщённого понятия числовой последовательности;

в) задачами на поиск закономерности, для развития гибкости, нестандартности и оригинальности мышления, формирования аналитических способностей;

г) олимпиадными задачами для развития математических способностей учащихся, выявления одарённых учащихся.

3. Сбалансировать материал темы, сделав его более наглядным.