Оценка вероятности по частоте

При испытаниях часто приходится оценивать неизвестную вероятность Р события А по его частоте  в «n» независимых опытах.

В общем случае, если в «п» проведенных опытах обозначить появление события А единицей, а непоявление события — нулем, то эмпирическая вероятность будет равна

Математическое ожидание данной величины равно: М[ ] = р, а ее дисперсия: D[ ] = pq/n, где q = 1 – p.

В теории вероятностей доказывается, что эта дисперсия является минимально возможной, означающей, что оценка  является эффективной.

Доверительный интервал для вероятности  будет равен I_{β( )} = (p₁; p₂),

где

При n → ∞ величины  → 0 и → 0, поэтому формулы в пределе принимают вид

Формулами можно пользоваться при достаточно больших п (порядка сотен опытов) и когда вероятность р не слишком велика (когда величины пр и nq порядка 10 и более).

При малом числе опытом, а также в том случае, когда вероятность рочень велика или очень мала формулами для построения доверительного интервала пользоваться нельзя, т. к. они получены с рядом допущений.

В этом случае доверительный интервал строят из точного закона распределения частоты каковым является биномиальное распределение, для которого

где Р_т,п — вероятность появления т событий в п опытах,  —число т сочетаний в n опытах. Частота  равна .

Значение доверительного интервала в этих случаях лучше не вычислять, а находить по специальным графикам. На рис. 7.2 приведен такой график для доверительной вероятности β = 0,9. В справочной литературе существуют таблицыp₁ и р₂ для различных β.

Рис. 7.2. Номограмма для определения p₁; p₂ при доверительной вероятности. β = 0.9.

Метод наибольшего правдоподобия

Одним из важнейших методов для отыскания оценок параметров по данным испытания является метод наибольшего правдоподобия.

Если мы имеем выборку результатов испытаний случайной величины X объема п: х₁; х₂; ... х_п; плотностью X будет функция p(x_i θ), зависящая от параметра θ.

Фунцией правдоподобия называется функция.

L(x₁; х₂,... х_п; θ) = р(х₁ θ)р(х₂, θ)... р(х_п θ)

Сущность оценки заключается в том, что выбирается такое значение аргумента, θ, которое обращает функцию L в максимум. Значение L при θ _mах и называется оценкой наибольшего правдоподобия. Для получения L_max решается следующее уравнение  и  и отобрать то решение b—Q(x₁, x₂, ... х_п), которое обращает L в максимум.

Организация и планирование испытаний на надежность

Испытания на надежность проводятся для сбора статистических данных об отказах элементов машин и оценки по этим данным фактического уровня надежности.

В общих чертах сущность испытания сводится к следующему. На испытание ставится некоторое заранее спланированное количество изделий или элементов изделий. В процессе испытания регистрируются отказы изделий, время их исправной работы и простои для обнаружения и устранения неисправностей. Эта информация и служит основой для оценки уровня надежности.

Методы испытаний систематизированы и приведены на рис. 7.3. Как видно из рисунка все испытания на надежность можно разделить на 3 группы: испытания на обнаружение внезапных отказов; испытание на обнаружение и регистрацию постепенных (износовых) отказов; комплексные испытания, которым, как правило, подвергается машина в целом.

Условия испытаний видны из этой же диаграммы.

При испытаниях на надежность приходится решать самые разнообразные инженерно-физические и статистические задачи. Разновидности решаемых задач сведены в блок-диаграмму на рис. 7.4. Из этой диаграммы видно, что испытания призваны решить следующие задачи:

1. Комплекс задач, охватывающих все вопросы оценки надежности по результатам испытаний большого числа изделий, называется генеральной совокупностью. Основными характеристиками, определяемыми путем испытаний, являются: распределение отказов во времени или по величине наработки.

2. Организация испытаний предусматривает следующий порядок сбора информации:

а) при испытании опытного образца все изделия данной модели подвергаются сплошной проверке;

б) при серийном или массовом производстве и при стопроцентном контроле на надежность определяется общий фонд времени работы и его распределение;

в) при серийном или массовом производстве с целью периодического получения данных по надежности проводятся контрольные испытания изделий, изготовляемых в течение заранее установленного контрольного периода;

г) во многих случаях подвергаются испытаниям выбранные партии деталей. Обычно таким испытаниям подвергают детали, являющиеся слабыми звеньями устройств. Получаемые при испытаниях данные должны удовлетворять требованию состоятельности, несмещенности, эффективности и соответствия принципу наибольшего правдоподобия.

По типу распределения отказов испытания машин и их элементов подразделяются на испытания на внезапные, аварийные отказы и износовые (постепенные) отказы. Приработочные отказы должны быть устранены обкаткой или отбраковкой дефектных элементов. Применяются также комплексные испытания в которых учитываются все виды отказов.

Рис 7.3. Классификация методов испытания на надежность

Рис. 7.4. Схема инженерно-физических и статистических задач

при испытаниях на надежность