Обработка результатов испытаний и оценка их доброкачественности

Как уже указывалось, в результате проведения различного вида испытаний и подконтрольной эксплуатации накапливается определенный объем информации по фиксируемым параметрам и показателям (отказам, временам безотказной работы, детерминированным показателям: пределу прочности, усталости и т.д.).

Но в силу ряда случайных причин, получаемые результаты наблюдений при повторении опыта не будут совпадать — будет иметь место разброс значений, и иногда весьма значительный. Это явление обязывает оценивать точность и достоверность получаемых результатов с целью избежать ошибок, искажающих изучаемое явление или процесс. Подобная оценка осуществляется путем статистико-вероятностной обработки результатов наблюдений.

Рассмотрим ряд задач решаемых при обработке результатов наблюдений.

Прежде всего отметим, что не всегда удается собрать большой объем информации. Чаще всего значение искомого параметра вычисляется на базе ограниченного числа опытов и поэтому в результате будет содержаться случайная ошибка. Такое приближенное случайное значение называется оценкой параметра.

К оценкам предъявляют следующие требования, позволяющие считать ее «доброкачественной» — наиболее точно отражающей изучаемой явление.

1. Необходимо, чтобы при увеличении числа наблюдений «n» оценка параметра «a» стремилась к некоторому теоретическому параметру «a» (сходилась по вероятности). Оценка, обладающая таким свойством, называется состоятельной.

2. Желательно, чтобы пользуясь величиной  вместо a, мы не делали систематической ошибки в ту или другую сторону, — чтобы выполнялось условие М[ ]= a. Оценка, удовлетворяющая такому условию, называется несмещенной.

3. Необходимо, чтобы выбранная несмещенная оценка обладала по сравнению с другими наименьшей дисперсией D[ ]= min.

Оценка, обладающая таким свойством, называется эффективной. На практике не всегда удается удовлетворить всем этим требованиям. Бывает так, что эффективная оценка и существует, но формулы для ее вычисления будут слишком сложны и удобнее будут пользоваться другой с несколько большей дисперсией. Иногда применяются незначительно смещенные оценки и тоже с целью упрощения расчетов.

Оценка для математического ожидания и дисперсии

Если над некоторой случайной величиной X проведены испытания и получен ряд значений x₁, х₂, ...,x_n, то в качестве несмещенной и состоятельной оценки математического ожидания принимается среднее арифметическое из этих значений

где  — статистическое математическое ожидание. Эффективность или неэффективность оценки зависит от вида закона распределения случайной величины X. В теории вероятностей доказывается, что минимальная дисперсия Д будет иметь место при нормальном законе распределения случайной, величины X. При других законах распределения этого может и не быть.

В качестве состоятельной и несмещенной оценки для дисперсии принимается статистическая дисперсия, определяемая через второй начальный момент.

или

Оценка  для дисперсии не является эффективной. Она является асимптотически эффективной, т. е. при n → ∞  → D_min.