Эта формула, называется формулой Муавра.

ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ

ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ

ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ

Московский государственный университет

Приборостроения и информатики

Кафедра высшей математики

Комплексные числа

(решение задач)

Учебное пособие для студентов всех форм обучения для самостоятельной подготовки к выполнению контрольных работ.

Москва 2005

Составитель: к.ф.м.н., доцент Выборнов А.Н..

В пособии кратко приведены основные теоретические сведения по теме «комплексные числа» (не заменяют лекционный материал или материал учебника), разобраны некоторые задачи. Пособие составлено на основе пособия МГУПИ для заочного отделения (авторы: Баланкина Е.С., Головешкин В.А., Каримова Н.А., Меренкова Т.В., Соркина Л.И., Якобовская И.М.). Пособие может использоваться как дополнительное пособие по развитию навыков решения задач.

В алгебраической форме комплексное число z представляется в виде

, где - действительная часть,  - мнимая часть, число - мнимая единица, обладающая свойством .

    Комплексные числа удобно представлять точками  на плоскости по правилу: комплексному числу  соответствует точка . Получается взаимно однозначное соответствие между всеми точками плоскости и всеми комплексными числами. Действительные числа при этом образуют ось абсцисс, поэтому ее называют действительной осью на комплексной плоскости, ось ординат называют мнимой осью – она состоит из комплексных чисел с нулевой действительной частью.

Два комплексных числа  и  считаются равными тогда и только тогда, когда равны их действительные и мнимые части. То есть

.

Операции сложения (вычитания) для комплексных чисел определены следующим образом: , то есть отдельно складываются (вычитаются) действительные и мнимые части.

Любое действительное число  может рассматриваться как комплексное, если отождествить  и .

    Операция умножения  проводится по следующей схеме

Так как , то

    Если комплексное число z равно , то комплексно сопряженным называется  число, обозначаемое , где . Заметим, что .

    Деление комплексных чисел осуществляется по следующей схеме

(числитель и знаменатель умножают на сопряженное к знаменателю):

    Пример. Вычислить , , , если , .

Решение. = .

=

=

= .

Пример. Вычислить , , , если ,

=

=

=

=

    Тригонометрическая форма комплексного числа.

Обозначим  - модуль вектора , . Это число назовем модулем  - комплексного числа . Заметим, что .

    Угол наклона вектора  к действительной оси  обозначим  и назовем аргументом комплексного числа z. Тогда , . Следовательно, = + .

Представление комплексного числа в виде  называется тригонометрической формой комплексного числа. Заметим, что аргумент комплексного числа определен с точностью до слагаемого, кратного . Если не будет специальных оговорок, мы будем предполагать, что речь идет о главном значении аргумента , где . В общем случае два комплексных числа  и  равны, когда равны их модули, а аргументы отличаются на слагаемое, кратное .

Для комплексных чисел, заданных в тригонометрической форме, операции умножения и деления выполняются достаточно просто.

Пусть , .

Тогда:

( при умножении комплексных чисел модули перемножаются, а аргументы складываются);

(при делении комплексных чисел модули делятся, а аргументы вычитаются).

    Из формулы умножения комплексных чисел, заданных в тригонометрической форме следует, что если , то , где n – целое число равно

Эта формула, называется формулой Муавра.

    Если комплексное число задано в тригонометрической форме , а нам требуется представить его в алгебраической форме , то действительная и мнимая части комплексного числа определяются соотношениями .

    Если комплексное число представлено в алгебраической форме , а нам требуется представить его в тригонометрической форме , то модуль и аргумент определяются соотношениями

. Известные значения синуса и косинуса однозначно определяют главное значение аргумента.

    Согласно формуле Эйлера .

Следовательно, комплексное число      может быть записано в виде .