Д1. ЦЕНТРАЛЬНЫЕ ПРОЕКЦИИ И ИХ ОСНОВНЫЕ СВОЙСТВА

Для построения центральной проекции фигуры необходимо выбрать в пространстве произвольную точку S в качестве центра проецирования и плоскость П₁, не проходящую через точку S, в качестве плоскости проекций (картинной плоскости). Точка S и плоскость П₁ составляют аппарат центрального проецирования.

Чтобы спроецировать точку А пространства на плоскость П₁, через центр проецирования S проводят прямую SA до пересечения с плос­костью П₁ (рис. 1). Точка А₁ называется центральнойпроекцией точки А, прямая SA –проецирующейпрямой.

Проекция фигуры на плоскость есть множество проекций всех ее точек (ΔА₁B₁C₁ – центральная проекция ΔАВС).                                  

Центральное проецирование положено в основу построения изображе­ний в перспективе.

Основные свойства центральных проекций.

1. Геометрические фигуры отображаются следующим образом:

1) точка проецируется точкой;

2) прямая в общем случае проецируется прямой. Проецирующая пря­мая отображается одной точкой;

3) плоская фигура в общем случае отображается плоской фигурой. Плоская фигура, принадлежащая проецирующей плоскости, отобра­жается прямой;

4) трехмерная фигура отображается двумерной.

2. Центральные проекции фигур сохраняют взаимную принадлежность фигур (например, если точка принадлежит прямой, то проекция точки принадлежит проекции прямой).

Рис. 1

                                           Рис. 2

Д2. ПАРАЛЛЕЛЬНЫЕ ПРОЕКЦИИ И ИХ ОСНОВНЫЕ СВОЙСТВА

Параллельное проецирование есть частный случай центрального, когда центр S удален в бесконечность, поэтому проецирующие прямые параллельны между собой. Аппарат параллельного проецирования сос­тавляют направление проецирования s и плоскость проекций П₁ (рис. 2).

Если угол φ между направлением проецирования s и плоскостью П₁ равен 90°, то проецирование называют прямоугольным (ортогональным), если угол φ отличен от прямого, – косоугольным.

Основные свойства параллельного проецирования

При параллельном проецировании сохраняются все свойства цент­рального проецирования. Свойства, присущие только параллельному проецированию, следующие:

1) проекции параллельных прямых параллельны;

2) проекции равных и параллельных отрезков равны и параллельны;

3) проекция точки делит проекцию отрезка в таком же соотношении, в каком точка делит этот отрезок.

При заданных центре проекций (S или S ¥) и плоскости П₁ точке А будет соответствовать единственная проекция А₁, так как проецирую­щая прямая может пересечь плоскость П₁ только в одной точке А₁. Однако восстановить точку А только по одному ее проекционному отображению нельзя, т.е. такой чертеж необратим.

Для получения обратимого чертежа геометрической фигуры необхо­димо иметь две ее проекции.

Технические чертежи, выполненные с применением параллельного проецирования, могут быть построены по методу аксонометрического проецирования (в "аксонометрии") или по методу Монжа.

Д3. АКСОНОМЕТРИЯ

В переводе с греческого "аксонометрия" значит "измерение по осям".

Сущность этого метода заключается в том, что предмет вместе с осями декартовой системы координат параллельно проецируется на од­ну плоскость проекций – картинную плоскость. Для получения обрати­мого чертежа на картинной плоскости строятся две проекции предме­та: аксонометрическая и вторичная. Достоинством этого метода изоб­ражения является наглядность и возможность измерения по осям. При­нимая различное взаимное расположение декартовой системы координат и картинной плоскости и задавая разные направления проецирования, можно получить множество аксонометрических проекций, отличающихся друг от друга направлением аксонометрических осей и величиной ис­кажения по этим осям (коэффициентами искажения). Величины коэффи­циентов искажения выводятся из основной формулы аксонометрии (тео­рема Польке-Шварца):

m² + n² + p² = 2 + ctg²φ,

где m, n, p – коэффициенты искажения по осям X, Y, Z;

φ – угол между направлением проецирования и плоскостью проекций.

В зависимости от соотношения коэффициентов искажения различают виды аксонометрии:

- если все три коэффициента равны между собой (m = n = p), то ак­сонометрия называется "изометрией" ("изос" – равный);

- если равны два коэффициента (m = p), то аксонометрия называется "диметрией";

- если все три коэффициента разные, то аксонометрия называется "триметрией".

В зависимости от угла φ между направлением проецирования и плоскостью проекций различают:

- прямоугольнуюаксонометрию, если φ = 90°:

- косоугольную аксонометрию, если φ ¹ 90°.