Степенная функция с отрицательным дробным показателем.

Рассмотрим функцию у = х ^-r, где r - положительная несократимая дробь.

Перечислим свойства этой функции.
1) Область определения - промежуток (0; + ∞).
2) Функция ни четная, ни нечетная.
3) Функция у = х ^-r убывает на (0; + ∞)

Построим график функции у = х ^-1/2 (рис. в). Подобный вид имеет график любой функции у = х^r, где r - отрицательная дробь.

G

Показательная функция.

Показательная функция задается формулой у = а^х, где а > 0 и а ≠ 1.

Перечислим свойства функции у = а^х при а > 1.
1) Область определения функции - вся числовая прямая.
2) Область значений функции - промежуток (0; + ∞).
3) Функция не является ни четной, ни нечетной. Это следует из того,
что а ^-х ≠ а^х и а ^-х ≠ - а^х.
4) Функция возрастает на всей числовой прямой.

График функции у = а^х при а > 1 выглядит так, как показано на рисунке. Отметим, что эта функция принимает любые положительные значения.

Свойства функции у = а^х при 0 < а < 1.
1) Область определения функции - вся числовая прямая.
2) Область значений - (0; + ∞).
3) Функция не является ни четной, ни нечетной.
4) Функция убывает на всей числовой прямой.

График функции у = а^х при 0 < а < 1 выглядит так, как показано на рисунке. Отметим, что эта функция принимает любые положительные значения.

G

Логарифмическая функция.

Логарифмическая функция у = log_a x обладает следующими свойствами :
1) Область определения - (0; + ∞).
2) Область значений - ( - ∞; + ∞)
3) Функция ни четная, ни нечетная.
4) Функция возрастает на промежутке (0; + ∞) при a > 1, убывает на (0; + ∞) при 0 < а < 1.

График функции у = log_a x может быть получен из графика функции у = а^х с помощью преобразования симметрии относительно прямой у = х. На рисунке а построен график логарифмической функции для а > 1, а на рисунке б - для 0 < a < 1.

Функция у = ln х.

Среди показательных функций у = а^х, где а > 1, особый интерес для математики и ее приложений представляет функция, обладающая следующим свойством: касательная к графику функции в точке (0; 1) образует с осью х угол 45°. Основание а такой функции ах принято обозначать буквой е, т. е. у = е^х. Подсчитано, что е = 2, 7182818284590..., и установлено, что е - иррациональное число. Логарифмическую функцию, обратную показательной функции у = е^х, т. е. функцию у = log_е x, принято обозначать у = ln х
(ln читается "натуральный логарифм"). График функции у = ln х изображен на рисунке.

G

Литература:

1. Ш.А.Алимов «Алгебра и начала анализа» 10-11 кл. , стр. 39 - 42