Степенная функция с положительным дробным показателем.

Практическая работа № 11.

Тема: Построение графиков степенных, показательных и логарифмических функций.

Цель: Применение знаний, их использование при решении задач.

Методические рекомендации

Опр.

Функция вида  , где R (любое действительное число), называется степенной.

Степенная функция с натуральным показателем.

Функция у = хⁿ, где n - натуральное число, называется степенной функцией с натуральным показателем.
При n = 1 получаем функцию у = х.
При n = 2 получаем функцию у = х².

Функция у = х².

Перечислим свойства функции у = х².
1) Область определения функции - вся числовая прямая.
2) у = х² - четная функция (f ( - х) = ( - х)² = х² = f (x)).
3) На промежутке [0; + ∞) функция возрастает (если 0 ≤ х₁ < х₂ , то х₁² < х₂², а это и означает возрастание функции).
4) На промежутке ( - ∞ ; 0] функция убывает ( если x₁ < x₂ ≤ 0, то х₁² > х₂² , а это и означает убывание функции).

Графиком функции у = х² является парабола (см. рис).

При n = 3 получаем функцию у = х³.

Функция у = х³.

Перечислим свойства функции у = х³.
1) Область определения функции - вся числовая прямая.
2) у = х³ - нечетная функция (f (- х) = (- х)³= - х³ = - f (x))
3) Функция у = х³ возрастает на всей числовой прямой.
График функции у = х³ изображен на рисунке. Он называется кубической параболой.

Пусть n - произвольное четное натуральное число, большее двух: n = 4, 6, 8, ... . В этом случае функция у = хⁿ обладает теми же свойствами, что и функция у = х². График такой функции напоминает параболу у = х², только ветви графика при |x| > 1 тем круче идут вверх, чем больше n, а при |x| < 1 тем "теснее прижимаются" к оси х, чем больше n. (рис. а)

Пусть n - произвольное нечетное число, большее трех: n = 5, 7, 9, … . В этом случае функция у = хⁿ обладает теми же свойствами, что и функция у = х³. График такой функции напоминает кубическую параболу (только ветви графика тем круче идут вверх, вниз, чем больше n) (рис. б). Отметим также, что на промежутке (0; 1) график степенной функции у = хⁿ тем медленнее отдаляется от оси х с ростом х, чем больше n.

Степенная функция с целым отрицательным показателем.

Рассмотрим функцию у = х ^-n, где n - натуральное число.
При n = 1 получаем у = х ^-1 или у = 1/х. Свойства этой функции рассмотрены выше.

Пусть n - нечетное число, большее единицы, n = 3, 5, 7, …
В этом случае функция у = х ^-n обладает в основном теми же свойствами, что и функция у = 1/х. График функции у = х ^-n (n = 3, 5, 7, …) напоминает график функции у = 1/х (рис. а).

Пусть n - четное число, например n = 2.
Перечислим некоторые свойства функции у = х ^-2, т. е. функции у = 1/х².
1) Функция определена при всех x ≠ 0
2) y =1/х² - четная функция.
3) y = 1/х² убывает на (0; + ∞) и возрастает на ( - ∞; 0).

Теми же свойствами обладают любые функции вида у = х ^-n при четном n, большем двух.

График функции у = 1/х² изображен на рисунке б. Аналогичный вид имеет график функции у = х ^-n, если n = 4, 6, ...

Функция у = х^1/2.

Перечислим свойства функции у = .
1) Область определения - луч [0; + ∞). Это следует из того, что выражение определено лишь при х ≥ 0.
2) Функция у = ни четна, ни нечетна.
3) Функция у = возрастает на луче [0; + ∞).
График функции у = изображен на рисунке а..

Функция у = х^1/3.

Перечислим свойства функции у = .
1) Область определения функции - вся числовая прямая.
2) Функция у = нечетна.
3) Функция у = возрастает на всей числовой прямой.
График функции у = изображен на рисунке б.

Функция у = х^1/n.

При четном n функция y = обладает теми же свойствами, что и функция у = , и график ее напоминает график функции у = .
При нечетном n функция у = обладает теми же свойствами, что и функция у = , и график ее напоминает график функции у = .

Степенная функция с положительным дробным показателем.

Рассмотрим функцию у = х^r, где r - положительная несократимая дробь.
Перечислим некоторые свойства этой функции.
1) Область определения - луч [0; + ∞).
2) Функция ни четная, ни нечетная.
3) Функция у = х^r возрастает на [0; + ∞).

На рисунке а изображен график функции у = х^2,5 .

Он заключен между графиками функций у = х² и у = х³, заданных на промежутке [0; + ∞).
Подобный вид имеет график любой функции вида у = х^r, где r > 1.
На рисунке б изображен график функции у = х^2/3. Подобный вид имеет график любой степенной функции у = х^r, где 0 < r < 1.