ВИЗНАЧЕННЯ МОМЕНТУ ІНЕРЦІЇ СИСТЕМИ

Лабораторна робота № 1

ВИВЧЕННЯ КРИВОЛІНІЙНОГО РУХУ

Мета роботи – визначити деякі кінематичні характеристики (горизонтальну і вертикальну складові швидкості, повну швидкість, нормальну і тангенціальну (дотичну) складові повного прискорення, а також радіус кривизни траєкторії) руху тіла, що кинуте горизонтально в полі тяжіння Землі, в заданій точці траєкторії.

Прилади і обладнання: криволінійний жолоб, стальна кулька, обмежувальний ящик, масштабна лінійка, звичайний та копіювальний папір.

Теоретичні відомості

Якщо матеріальна точка рухається за криволінійною траєкторією, то вектор її лінійної швидкості збігається з дотичною до траєкторії. При цьому вектор швидкості може змінюватись в загальному випадку як за модулем, так і за напрямком.

Вектор тангенціального прискорення  визначається швидкістю зміни вектора швидкості  за модулем, вектор нормального (доцентрового) прискорення  - швидкістю зміни вектора швидкості за напрямком.

Напрямок вектора тангенціального прискорення в кожній точці траєкторії (див. рис.1, точка M) збігається з напрямком вектора повної швидкості, а його модуль визначається першою похідною від швидкості за часом: .

Вектор нормального прискорення спрямований до центра кривизни траєкторії під кутом 90⁰ до вектора повної швидкості. Його модуль  , де v – повна швидкість в точці траєкторії M, R – радіус кривизни траєкторії в цій точці. Вектори тангенціального і нормального прискорення є взаємно перпендикулярними складовими повного прискорення , яке дорівнює їх векторній (геометричній) сумі: . Модуль вектора повного прискорення .

При кидані деякого тіла в горизонтальному напрямку (вздовж осі ОХ) його рух обумовлюється рухом за інерцією в горизонтальному напрямку і рухом під дією сили тяжіння – в вертикальному. Згідно принципу незалежного складання рухів ці два рухи дають результуючий рух за криволінійною траєкторією. Його описує рівняння руху в двох координатах:

          ОХ:                  ,                            (1)

          ОУ:                 ,                           (2)

де  - початкова швидкість вздовж осі ОХ (початкова швидкість в вертикальному напрямку дорівнює нулю), H – висота, з якій падає кулька, g – прискорення вільного падіння. Ми нехтуємо силою опору повітря і тому вважаємо рух вздовж осі ОХ рівномірним, тобто горизонтальна складова швидкості завжди v_г = v_ox = v_о. Цей рух і рух по вертикалі синхронізовані у часі, але є незалежними. Диференціювання по часу другого рівняння дає вираз для величини вертикальної складової швидкості    

v_В = v_y: .                                                  (3)

Рівняння (1) - (3) дозволяють з відомих початкових умов визначити кінематичні характеристики руху матеріальної точки в будь-який момент часу (це є пряма задача кінематики), наприклад, для моменту падіння маємо:

;    ;    

                                         (4)

В даній лабораторній роботі відомими з експерименту є величини H i L, що дозволяє розрахувати інші відповідні кінематичні характеристики.

Опис методу

Для створення горизонтального руху тіла (стальної кульки) застосовується жолоб N, що закріплений на тримачі D (рис.2). Кульку утримують над жолобом на рівні його верхнього краю, а потім відпускають. Нижній кінець жолоба спрямований горизонтально, тому і вектор швидкості кульки в точці вильоту спрямований горизонтально.

Значення горизонтальної складової швидкості є однаковим в кожній точці траєкторії і дорівнює

                                                                   (5)

значення вертикальної складової дорівнює

         .                          (6)

Для величини повної швидкості в точці падіння, враховуючи вищенаведені формули, маємо

                                    .                 (7)

Повне прискорення в будь-якій точці дорівнює прискоренню вільного падіння . Розкладемо його на дві складові – тангенціальну (дотичну)  і нормальну (доцентрову) .

Знайдемо формули для обчислення цих величин. З рис.3 бачимо, що трикутники ABC і DFC є подібні, тому

маємо , звідки          .    (8)

Також  , звідки                .            (9)

Знаючи  і  для точки С, можна визначити радіус кривизни траєкторії в цій точці:                                               (10)

В роботі необхідно визначитивеличини: v_Г, v_В, v, a_t, a_n, a, R в точці падіння, виходячи з виміряних значень L і H.

Порядок виконання роботи

Виміри

1. Закріпити жолоб N на тримачі D так, щоб було зручно виконувати експериментальну частину роботи (дивись рис.2).

2. Розташувати біля жолоба обмежувальний ящик так, щоб його відкритий бік був звернений до жолоба і розташовувався на одній вертикалі з його нижнім обрізом. Зробити пробні кидки кульки. Якщо кулька не долітає до середини ящика, чи, навпаки, перелітає ящик, то відрегулюйте висоту кріплення жолоба на тримачі.

3. В обмежувальний ящик покласти аркуш копіювального паперу чутливим боком догори і накрити аркушем чистого паперу. Край аркушу сумістити з краєм відкритого боку обмежувального ящика.

4. Зробити 10 кидків кульки, прагнучи робити це однаковим чином і фіксуючи рукою положення паперу відносно жолобу.

5. Перегорнути аркуш паперу і виміряти лінійкою відстані від краю паперу до точок, де падала кулька. Занести результати вимірів в табл.1.

6. Зробити одноразовий вимір висоти H вздовж вертикалі від нижнього краю жолоба до площини, на яку падає кулька.

Обчислення середніх значень

Обчислити середні значення L, v_Г, v_В, v, a_t, a_n, a, R. Результат для <L> записати внизу табл.1. В цій таблиці також записати величину прийнятої довірчої імовірності і значення коефіцієнтів Стьюдента (див. Додаток 1).

Обчислення похибок прямих вимірювань

Похибка вимірювання L має три складові: випадкова похибка ( ), інструментальна похибка (DL_ін) і похибка відліку (DL_від):

 = ,

= ,

 = .

Тоді загальна похибка вимірювання L:

 =

=

Таблиця 1.

Результати вимірів і вихідні дані

для розрахунку похибок вимірювання

H = ..... , прийнята довірча імовірність a = ..... , коефіцієнт Стьюдента t_a,¥= ..... , коефіцієнт Стьюдента t_a,10= .....

Номер виміру (n)	L, мм	DLi = Li - <L>	(DLi)2
1	.....	.....	.....
2	.....	.....	.....
.	.....	.....	.....
.	.....	.....	.....
10	.....	.....	.....
	<L>= .....		= .....

Таблиця 2

Характеристики мір, необхідні

для розрахунку похибок вимірювання

Похибка вимірювання H має дві складові: інструментальна похибка (DH_ін) і похибка відліку(DH_від).

                    .

Записати результати прямих вимірювань в стандартній формі (див. Додаток 3):                 L = .....m ....., E_L = ....%

              H = .....m ....., E_H = ....% , для a = 0,95.

Тут також записуємо значення використаної сталої .

Обчислення похибок непрямих вимірювань

За вказівкою викладача обчислити похибки непрямих вимірювань для величин v_Г, v_В, v .Для цього:

1. Виводимо формули для розрахунку відносних похибок вимірювання

v_Г (v_В, v ).

Наприклад, для v_{Г :}                                         

а)записуємо функціональну залежність величини ,

б) логарифмуємо цей вираз       ,

в) знаходимо часткові похідні      та ,     похибкою заокруглення сталої g нехтуємо,

г) записуємо формулу для відносної похибки .

2. Оскільки , то шукана похибка вимірювання                                                             

     Аналогічно виконуємо розрахунки для v_В таv .

Представлення результатів вимірювання.

Прямі вимірювання: L = ..... ±..... , E_L = ....% , для a = 0,95.

                              H = ..... ±..... , E_H = ....% , для a = 0,95.

Непрямі вимірювання: v_Г =..... m ..... , E_v = ....% , для a = 0,95.

(v_В =.....m ..... ,E_v = ....% , для a ==0,95),

(v = .....m ..... ,  E_v = ....% , для a = 0,95).

a_t = .....  ,

a_n = .....  ,

a = ..... ,

R = ..... 

Лабораторна робота № 2

ВИЗНАЧЕННЯ МОМЕНТУ ІНЕРЦІЇ СИСТЕМИ