|
.
Вторая контрольная работа:
1. Найти пределы функций
a. 
b. 
c. 
d. 
2. Найти производные функций:
a.  ;
b.  .
c.  .
d.  .
3. Найти экстремумы функции
 .
4. Провести исследование и построить график функции
 .
Третья контрольная работа:
- Найти экстремумы функции
 . - Найти интеграл
 . - Найти интеграл
 . - Вычислить определённый интеграл
 . - Вычислить определённый интеграл методом интегрирования по частям:
 .
Теоретические вопросы к экзамену:
1. Понятие матрицы. Квадратные матрицы. Диагональные матрицы. Единичная матрица.
2. Действия над матрицами: сложение, умножение на число.
3. Умножение матриц. Пример, иллюстрирующий некоммутативность умножения.
4. Транспонирование матрицы.
5. Определители второго и третьего порядка.
6. Минор и алгебраическое дополнение элемента квадратной матрицы
7. Разложение определителя произвольного порядка по строке.
8. Свойства определителей
9. Понятие обратной матрицы. Формула для вычисления обратной матрицы.
10. Системы линейных уравнений. Понятие решения линейной системы.
Совместные и несовместные системы. Определенные и неопределенные системы
11. Системы линейных уравнений в матричной форме. Запись решения с использованием
обратной матрицы.
12. Метод Гаусса. Понятие расширенной матрицы системы линейных уравнений.
Элементарные преобразования строк расширенной матрицы.
13. Правило Крамера.
14. Линейные системы двух уравнений с двумя неизвестными.
15. Однородные и неоднородные системы линейных уравнений.
16. Ранг матрицы. Теорема Кронекера-Капелли (без доказательства).
17. Векторы. Действия над векторами (сложение, умножение на число,
скалярное произведение векторов)
18. Векторы на плоскости
19. Векторы в трехмерном пространстве
20. Ортогональные векторы
21. Линейная комбинация векторов. Линейно независимые векторы.
22. Базис в трехмерном пространстве R3
23. Ортонормированный базис в n-мерном пространстве Rn
24. Уравнение прямой на плоскости
25. Уравнение плоскости.
26. Уравнения прямой в пространстве.
27. Функции (отображения). Область определения и множество значений функции.
Инъекция, сюръекция, биекция. Взаимно обратные функции.
28. Функции arcsin x , arctg x, их графики.
29. Модуль (абсолютная величина) действительного числа. Неравенство 
30. Предел числовой последовательности. Понятие бесконечно малой. Теоремы о сумме
и произведении бесконечно малых.
31. Теоремы о пределе суммы, произведения и частного
32. Предел монотонной последовательности.
33. Предел функции. Определения на языке окрестностей и последовательностей.
34. Непрерывные функции. Теорема Вейерштрасса.
35. Замечательные пределы
36. Замечательные пределы
 .
37. Производная. Механический и геометрический смысл производной.
38. Производная. Экономический смысл производной (средние и предельные издержки,
предельный доход, производительность труда).
39. Производная суммы, произведения и частного.
40. Производная сложной функции.
41. Производная обратной функции.
42. Производные функций  , ex , ln x.
43. Производные функций sin x, cos x, tg x.
44. Производные функций arcsin x, arctg x.
45. Теоремы Ферма (необходимое условие экстремума) и Лагранжа.
46. Правило Лопиталя.
47. Производные высших порядков
48. Признаки возрастания и убывания функции.
49. Экстремум функции. Достаточные условия экстремума (по производной первого порядка).
50. Экстремум функции. Достаточные условия экстремума (по производной второго порядка).
51. Выпуклость графика функции и точки перегиба. Достаточные условия выпуклости
дважды дифференцируемой функции.
52. Асимптоты графика функции (вертикальные, горизонтальные, наклонные).
53. Дифференциал и приращение функции одной переменной. Геометрический смысл
дифференциала
54. Первообразная и неопределенный интеграл.
55. Определенный интеграл. Формула Ньютона-Лейбница.
56. Свойства определенных интегралов.
57. Теорема о среднем для определенных интегралов.
58. Дифференцирование определенного интеграла по верхнему пределу.
59. Замена переменной в определенном интеграле
60. Формула интегрирования по частям.
61. Вычисление площадей плоских фигур.
62. Вычисление объемов.
63. Несобственные интегралы с бесконечными пределами.
64. Несобственные интегралы от неограниченных функций.
Числовые ряды. Сумма ряда. Сходимость числового ряда.
65. Необходимое условие сходимости числового ряда.
66. Признаки сходимости Д’Аламбера и Коши.
67. Интегральный признак сходимости числового ряда.
68. Признак сходимости Лейбница знакочередующихся рядов.
69. Абсолютная и условная сходимость числового ряда.
70. Степенные ряды Тейлора и Маклорена.
71. Область сходимости степенного ряда. Радиус сходимости.
72. Разложение функции  в ряд по степеням x.
73. Разложение функции  в ряд по степеням x.
74. Разложение функции  в ряд по степеням x.
75. Разложение функции f(x)=(1-x)-1 в ряд по степеням x.
76. Разложение функции f(x)=(1+x)-1 в ряд по степеням x.
77. Разложение функции f(x)=(1+x2)-1 в ряд по степеням x.
78. Разложение функции f(x)=(1+x2)-1 в ряд по степеням x.
79. Разложение многочлена (1+x)n по степеням x. Разложение многочлена (a+b)n
по степеням a и b.
80. Понятие множества. Подмножество. Равенство двух множеств. Объединение и
пересечение множеств.
81. Множества на плоскости. Расстояние между точками плоскости. Уравнение
окружности и эллипса.
82. Уравнения гиперболы и параболы.
83. Множества в R3. Расстояние между точками в R3. Уравнение сферы.
Множества в Rn. Расстояние между точками в Rn. Уравнение сферы в Rn.
Уравнение плоскости в Rn
84. Функции двух и более переменных. Понятие линий уровня для функции двух
переменных.
85. Частные производные и дифференциал.
86. Необходимый признак экстремума функции многих переменных.
87. Достаточный признак экстремума функции многих переменных.
88. Условный экстремум. Метод множителей Лагранжа.
89. Комплексные числа. Действия над комплексными числами в алгебраической форме.
90. Модуль и аргумент комплексного числа. Тригонометрическая форма комплексного числа.
91. Формула Муавра. Формула Эйлера. Показательная форма комплексного числа.
92. Дифференциальные уравнения первого порядка. Общее и частное решение.
Задача Коши. Пример: уравнение  .
93. Дифференциальные уравнения второго порядка. Задача Коши. Пример: уравнение
y”+y=0.
94. Однородные линейные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами.
95. Квадратичные формы
96. Задача на собственные значения
Пример экзаменационного билета:
- Дайте определение модуля (абсолютной величины) действительного числа
 .
Для каких чисел выполняется неравенство  ? - Сформулируйте теорему о среднем для определенных интегралов.
- Дайте определение скалярного произведения n-мерных векторов. Приведите пример.
- Вычислите произведение матриц
- Решите систему уравнений
- Вычислите предел
- Вычислите интеграл
- Постройте график функции
| 
.
Предел и непрерывность функции многих переменных. Частные производные.
Литература: Кремер: гл.15, п.п.15.1-15.3
.
.
, 
, 
, 
, 
.
, 
.
, 
, 
, 
, 
.
, 
, 
, 
линейно независимыми.