Знайти об’єм піраміди ABCD,якщо А(1,3,-2), В(3,-2,1), С(1,0,-4), D(1,0,-3)

Дано: А(1,3,-2),

       В(3,-2,1),

      С(1,0,-4),

      D(1,0,-3)

Знайти: V-?

Розв’язання:

Розглянемо три вектора  на котрих побудована піраміда зная координати початку і кінця кожного вектора, знайдемо проекції цих векторів на осі прямокутної системи координат:

Отримаємо:

Об’єм піраміди знаходимо по формулі:

Підставимо значення:

Оскільки об’єм піраміди є додатне число, то маємо V=1 (од³.)

24.Пасажири, що стають в чергу за квитками в залізничну касу, утворюють найпростіший потік, в якому інтервал часу між моментами прибуття пасажирів є випадкова величина Х з показниковим законом розподілу:

Знайти числові характеристики .

Розв’язання:

Скористуємося формулою: .

Враховуя,що f(t)=0 при t<0 і f(t)=  при ,отримаємо

М(Х)=

Інтегруючи по частинах по формулі:

Положив u=t,dv= dt,звідси du=dt, v=1/0,5* , виконавши викладення, остаточно одержимо 

М(Х)=

Знайдемо дисперсію. Скористуємося формулою:

 .Враховуя,що f(t)=0 при t<0, М(Х)= ,отримаємо .

Інтегруючи двічі по частинах знайдемо

. Отже, шукана дисперсія D(X)=

Відповідь: М(Х)=2;D(X)=4

25.Знайти розв’язок задачі Коші

Розв’язання:

Складемо характеристичне рівняння k²-3k+2=0 і знайдемо його корені

k²-3k+2=0

Д=9-8=1

Х₁=

Х₂=  Х₁=2;Х₂=1

Загальний розв’язок рівняння має вигляд

у=С₁е^2х+С₂е^х.

Скористаємось початковими умовами. Оскільки

у^’=2С₁+С₂,то

;

Звідки С₁=1; С₂=-1                                      

Знаходимо шуканий розв’язок: у= е^2х- е^х

Відповідь:у= е^2х-е^х

Знайти числові характеристики випадкової величини Х,яка рівномірно розподілена в інтервалі (3,9)

Розв’язання:

Рівномірним називають розподіл ймовірностей непереривної величини х,якщо на інтервалі (а,б),котрому належать всі значення х, щільність зберігає постійне значення f(х)=1/(а+б).

Числовими характеристиками випадкової величини є математичне сподівання,дисперсія і середне квадратичне відхилення випадкової величини.

Знайдемо математичне сподівання випадкової величини:

М(х)=(3+9)2=6

Знайдемо дисперсію випадкової змінної використовуючи формулу:

Д(х)=М(х²)-М²(х)

М(х²)=

Д(х)=

Д(х)=(9-3)²/12=3

Середне квадратичне відхилення випадкової величини дорівнює квадратичному кореню з дисперсії

Відповідь: М(х)=6; Д(х)=3;σ(х)=1,73

27.Знайти площу фігури, яка обмежена лініями , .

Розв’язання:

По формулі S=  маємо S=

                  y

                                         y=x²                                        x=y²

                              A(1,1)

                                  x

O(0,0)

28.Дано точки А(-1;5;0),В(2;α;4),С(1;0;-4).При якому значенні α вектори АВ та АС перпендикулярні?

Розв’язання:

Із правила скалярного добутку векторів = cosφ,слідує, що якщо вектори перпендикулярні, то їх скалярний добуток дорівнює нулю.

Знайдемо вектори  та .Щоб знайти координати вектора заданими координатами початку і кінця, треба у координат кінця відняти координати початку.

=

=(3;α-5;4)

=(2;-5;-4)

По правилу скалярного добутку знайдемо: * =6-5(α-5)-16.Звідси α дорівнює:

6-5(α-5)-16=0

6-5α+25-16=0

-5α=-15

α =3

Перевіряємо: =(3;-2;4); =(2;-5;-4)

* =6+10-16=0

Відповідь: α =3

Дано точки А(-1;5),В(2;4),С(0;-4).Записати рівняння прямої, яка проходить через точку А перпендикулярно ВС.

Розв’язання:

Рівняння площини, яка проходить через точку М_о(х_о;у_о;z_o) перпендикулярно до вектора =(А;В;С) є А(х-х_о)+В(у-у_о)+С(z- z_o)=0

Знайдемо вектор . Щоб знайти координати вектора заданими координатами початку і кінця, треба у координат кінця відняти координати початку.

=(-2:-8)

Тоді, виходячи з формули, знаходимо шукане рівняння:

-2(х+1)-8(у-5)=0

-2х-8х+38=0

Відповідь: -2х-8х+38=0

Знайти фінальний розподіл

Ймовірностей станів Марковського

 ланцюга з дискретним часом, граф

Якого має вигляд

Розв’язання:

Р₁²=

Р₁²= * =

Р₁³= *

Р₁⁴= *

Р₁⁵= *

Таким чином, фінальний розподіл

ймовірностей станів Марковського

 ланцюга з дискретним часом

 дорівнює

Відповідь: