Г) хоча б на один із вантажних пунктів.

Б)хоча б один вагон.

Розв’язання:

Якщо проводяться випробування, при яких появи події А в кожному випробуванні не залежить від початкових інших випробувань,то такі випробування називаються незалежними щодо події.Так як n мало, то застосовуємо формулу Бернулі. Ймовірність того, що в n незалежних випробувань, в кожному з котрих ймовірність появи події дорівнює p(0<p<1), подія наступить рівно k раз і дорівнює q^n-k .

а) не більш 2-х, чи 0, чи 1, чи 2: Р(0 £ к £ 2) = Р₄ (0) + Р₄ (1) + P₄ (2) = 0,4096 +0, 4096+0,1536 =0,9728,

P₁ = Р₄ (0) = C⁰₄ Р⁰ g⁴ = 1×1× (0.8)⁴ = 0,4096,

P₂ = Р₄ (1) = C ¹₄ Р¹ g³ =  ,

P₃ = Р₄ (2) = C²₄ Р² g² =

б) хоча б 1 вагон: Р=1-Р₄(0)=1-0,1096=0,5904.

2. У вокзальному приміщенні знаходиться каса, яка продає квитки на транзитні поїзди за годину до відправлення поїзду. При відсутності квитків каса зачинена. Матриця перехідних ймовірностей марківського процесу в такій обслуговуючій системі має вигляд:

Знайти матрицю ймовірностей за два кроки.

Дано:                                                     

                                                  Розв’язання

Матриця ймовірностей переходу за два кроки дорівнює добуткові матриці ймовірностей за один крок на себе, тобто   

Скориставшись формулою знаходимо:

Перемножив матриці відповідно знайдемо:

Відповідь:

3.В парку приймання чотири колії. Кількість колій, зайнятих в даний момент поїздами, які прибувають, є випадкова величина Х,яка розподілена за законом:

Знайти середню кількість зайнятих колій М(Х)

Розв’язання:

Математичним сподіванням випадкової величини Х називається сума множення всіх її значень на відповідні ймовірності:

М(Х)=М_х=х₁р₁+х₂р₂+……+х_np_n=

М(Х)= М_х=0*0,25+1*0,20+2*0,05+3*0,3+4*0,2=2

Висновок: середня кількість зайнятих колій дорівнює 2

4. Ймовірності появи в поїзді вагонів: на вантажний двір , на контейнерну площадку , на під’їзну колію . Визначити ймовірність появи в поїзді вагонів на:

а) всі три пункти;

б) на два пункти;

в) на один пункт;

г) хоча б на один із вантажних пунктів.

Розв’язання:

1)Знайдемо подію,яка полягаєв ймовірністі появи в поїзді вагонів на всі три пункти:

А=А₁А₂А₃.Тобто

Р=р₁р₂р₃.Р=0,3*0,4*0,2=0,024

2)Ймовірність появи в поїзді вагонів на два пункти:

В= А₁А₂А₃+А_{1 .}

Р=р₁р₂q₃+р₁q₂p₃+q₁ p₂p₃

P=0.3*0.4*0.2+0.3*(1-0.4)*0.2+(1-0.3)*0.4*0.2=0.116

3) Ймовірність появи в поїзді вагонів на один пункт:

C= А₁  + A_{2 .}

P= р₁q₂q₃+q₁p₂q₃+q₁ q₂p₃

P=0.3*(1-0.4)*(1-0.2)+(1-0.3)*0.4*(1-0.2)+(1-0.3)*(1-0.4)*0.2=0.452

4) Ймовірність появи в поїзді вагонів хоча б на один із вантажних пунктів:

D=1-

P=1-q₁q₂q₃

P=1-(1-0.3)*(1-0.4)*(1-0.2)=0,664

5. Дослідити ряд на збіжність

                                                           Розв’язання:

Поданий ряд –знакододатнім ряд. За ознакою Даламбера маємо: ,якщо -ряд збігається, якщо - ряд розбігається, якщо подана ознака не дає відповіді

Відповідь: ряд розбігається, так як  

6. Виконати дії над матрицями:

Розв язання:

1.

Множити можна матриці ,якщо число стовпців матриці А = числу рядків матриці В. Так як ця умова виконується, то використовуємо правило множення.(   строку на стовбець)

=  =

2. .Множення матриці на число:

= =

Відповідь:

7.У парку приймання 3 колії.Ймовірність зайнятості кожної з них поїздами,які прибувають,р=0,8.Знайти розподіл числа колій,зайнятих поїздами,які прибувають.

По формулі Бернулі визначаємо імовірність появи події в n іспитах = k раз.

Т.я. у ПП 3 колій, то нехай випадкові величини приймають значення 0,1,2,3. Нехай k - кількість зайнятих колій, тоді закон розподіли буде представлений

к	0	1	2	3
р

P₀(0)=

P₃(3)= .Так як р=0,8=8/10=4/5                              q=1-4/5=1/5

P₃(0)= =

P₃(1)= =

P₃(2)= =

P₃(3)= =

k	0	1	2	3
p

Перевіремо: + + + =

8.Розв’язати систему рівнянь:

Розв’яжемо систему рівнянь за формулами Крамера:

Відповідь:

9. знайти невизначений інтеграл        

                                                         Розв’язання

Відповідь:

10.Знайти екстремум функції, інтервали зростання і спадання:

Розв язання:

1.Область визначення функції є (- ,тобто функція визначена при всіх х.

2.Знаходимо першу похідну функції:f’(х)=6х²-12х-18

Із рівняння 6х²-12х-18=0 знаходимо

Д=144+432=576

х₁=

х₂=  х₁=3;х₂=-1

3.у’ існує при всіх х.

4.Визначаємо точки х₁=3;х₂=-1 на координатній прямій. Знайдемо як змінюються знаки похідної при переході скрізь точки стаціонарної функції.

                     max                              min

               +                            -                             +

                         -1                                      3                                                        

На інтервалі ,де х є - функція зростає

х є (-1;3)-функція спадає

х є (3;+ -функція зростає

5.З’ясували,що точка ( -1)-точка max;точка (-3)-min

f(-1)=2*(-1)³-6(-1)²-18(-1)+9=19

f(3)=2*(3)³-6(3)²-18(3)+9=-45

6.На основі цих даних обераємо найменше і найбільше значення функції

max f(х)= f (-1)=19

min f(х)= f(3)=-45

Відповідь:Zmin=-45;Zmax=19

11. Знайти границю функції

Розв’язання:

Оскільки маємо невизначеність виду .Щоб розкрити невизначеність скористуємось правилом Лопиталя, маємо:

Відповідь:

12.Знайти похідну функції

                                                       Розв’язання:

Правило диференціювання добутку:

Диференціювання суми:

Відповідь:

13. Знайти загальний розв’язок

                                                  Розв’язання:

Складемо характеристичне рівняння:

За формулою:

Загальний розв’язок однорідного рівняння має вигляд:

Оскільки правою частиною даного рівняння є функція виду ,причому ,то частинний розв’язок шукаємо у вигляді

,тобто  , де А невідомий коефіцієнт

Знайшовши похідні  і підставивши їх у рівняння дістанемо:

Тому - частинний розв’язок даного рівняння, а - його загальний розв’язок

Відповідь:

14.Знайти частинні похідні  функції

                                                       Розв’язання:

Згідно з означенням, при знаходженні частинної похідної  обчислюють звичайну похідну функції однієї змінної вважаючи змінну y,сталою , а при знаходженні похідної  сталою вважається змінна x.

Тому деференціруя дане рівняння, отримаємо:

Відповідь:

15. Знайти загальний розв’язок диференціального рівняння

                                                       Розв’язання:

Це диференціальне рівняння 1 го порядку з відокремлюваними змінними

Якщо змінні відокремлені то проінтегруемо обидві частини даного рівняння:

- загальний розв’язок даного рівняння

Відповідь:

16. Марковський ланцюг задано генератором .Знайти фінальний розподіл ймовірностей станів.

Розв’язання: Граф має 2 сталі Е1,Е2.З матриці  знаходимо інтенсивність переходів  і відмічаємо поряд з відповідними стілками:

         3

Е1

4

Складемо рівняння Колмогорова:

Припустимо:

Тоді згідно формули матимемо

Помножуючи матриці в правій частині матричного рівняння і прирівнюючи елементи отриманої матриці відповідним елементам рядкової матриці в лівій частині одержемо:

- це система диференціальих рівнянь Колмогорова

для знаходження стаціонарного розподілу достатньо в одержаній системі рівнянь покласти , а похідні тоді:

Одне з рівнянь, нехай друге, залишимо на умову  тобто

Звідси ,отже стаціонарний розподіл такий

Відповідь: так як стан Е1 і Е2 є суттєвим то знайдений          розподіл збігається з фінальним розподілом ймовірностей станів, тобто

17.обчислити визначений інтеграл

Розв’язання:

Відповідь : 1

18. знайти площу трикутника АВС, якщо А(1;0;-2), В(1;-2;-1), С(0;1;-4)

Дано: А(1;0;-2),

       В(1;-2;-1),

       С(0;1;-4)

Знайти:   

Розв’язання:

Розглянемо вектори і .Площа трикутника АВС- це половина площі паралелограма. Побудованого на векторах  і . Площа паралелограма побудованого на векторах  і , це модуль векторного помноження , а тому площа трикутника АВС дорівнює:

Знайдемо векторне помноження , а тому половину його модуля.

Проекція векторів і  на координатні осі знайдемо по формулам:

Модуль вектора знаходимо по формулі:

По формулі для векторного помноження векторів знайдемо, що

Модуль вектора знайдемо по формулі

Відповідь: площа трикутника дорівнює 1,871

19.Знайти радіус та інтервал збіжності степеневого ряду

                                                    Розв’язання:

За радіальної формули Коші отримуємо

Тоді       

- інтервал збіжності степеневого ряду

1 нехай    x=9

- ряд збігається

2. x=11

збігається

радіус степеневого ряду

Відповідь:

20.Обчислити криволінійний інтеграл  вздовж верхньої половини кола.

Відповідь:

21.Знайти границю функції .

Розв’язання:

На основі формули знаходимо границю

= ,оскільки

Відповідь: е²

22.Розв’язати однорідну систему рівнянь:

 Розв’язання:

Визначаємо визначник системи:

= =

Відповідь:так як ,то система має єдиний нульовий розв’язок: х=0;у=0;z=0