Физический смысл производной.

Если точка движется вдоль оси х и ее координата изменяется по закону x(t), то мгновенная скорость точки:

Уравнение касательной к графику функции y=f(x) в точке x₀ :

- нормаль к кривой

35. Основные правила дифференцирования. Производная сложной и обратной функции. Производные элементарных функций. Логарифмическое дифференцирование.

Основные правила дифференцирования.

           Обозначим f(x) = u, g(x) = v- функции, дифференцируемые в точке х.

1) (с)' = 0, (cu)' = cu'; 2) (u ± v)¢ = u¢± v¢3) (u×v)¢ = u×v¢ + u¢×v4) , если v¹ 0

5) если y = f(u), u=φ(x), т.е. y = f(φ(x)) - сложная функция (суперпозиция) которая составлена из дифференцируемых функций φ и f, то , или

6) если для функции y = f(x) существует обратная дифференцируемая функция x = g(y), при этом больше или меньше нуля, то

Для нахождения производной сложной функции надо производную данной функции по промежуточному аргументу умножить на производную промежуточного аргумента по независимому аргументу.

Теорема.Пусть y = f(x); u = g(x), причем область значений функции u входит в область определения функции f.           Тогда 

Производная обратной функции равна обратной величине производной данной функции.

Теорема:( о существовании обратной функции):если функция y=f(x) непрерывна и строго монотонна на [a,b] оси Ох, то обратная функция также непрерывна и монотонна на соответствующем отрезке [c,d] оси Оу.

Производные основных элементарных функций.

1)С¢ = 0;2)(x^m)¢ = mx^m-1;3)   4) 5) 6) 7)

8) 9)  10) 11) 12)

13) 14) 15) 16)

Логарифмическое дифференцирование.

Рассмотрим функцию .

Тогда (lnïxï)¢= , т.к. .

Учитывая полученный результат, можно записать .

Отношение  называется логарифмической производной функции f(x).

Способ логарифмического дифференцированиясостоит в том, что сначала находят логарифмическую производную функции, а затем производную самой функции по формуле

       Способ логарифмического дифференцирования удобно применять для нахождения производных сложных, особенно показательных функций, для которых непосредственное вычисление производной с использованием правил дифференцирования представляется трудоемким.

36. Дифференцируемость функций в точке. Дифференциал функции, его геометрический смысл и применение в приближенных вычислениях. Инвариантность формы дифференциала.

Функция дифференцируема в точке тогда и только тогда, когда у неё существует конечная производная. Более того

Дифференциалом функции называется линейная относительно часть приращения функции. Она обозначается как или . Таким образом:

Геометрический смысл дифференциалаДифференциал функции в точке равен приращению ординаты касательной, проведенной к графику функции в этой точке, соответствующему приращению аргумента .

Применение дифференциала в приближенных вычислениях

Установленное приближенное равенство или позволяет использовать дифференциал для приближенных вычислений значений функции.

Запишем приближенное равенство более подробно. Так как

а то или

Инвариантность формы дифференциала первого порядка

Формула дифференциала функции имеет вид ,где - дифференциал независимой переменной.

Пусть теперь дана сложная (дифференцируемая) функция , где , . Тогда по формуле производной сложной функции находим ,

так как .Итак, , т.е. формула дифференциала имеет один и тот же вид для независимой переменной и для промежуточного аргумента , представляющего собой дифференцируемую функцию от .Это свойство принято называть свойством инвариантности формулы или формы дифференциала