Основные числовые множества

Операции над множествами

Два множества А и В равны (А=В), если они состоят из одних и тех же элементов.
Например, если А={1,2,3,4}, B={3,1,4,2} то А=В.

Объединением (суммой)множеств А и В называется множество А ∪ В, элементы которого принадлежат хотя бы одному из этих множеств.
Например, если А={1,2,4}, B={3,4,5,6}, то А ∪ B = {1,2,3,4,5,6}

Пересечением (произведением) множеств А и В называется множество А ∩ В, элементы которого принадлежат как множеству А, так и множеству В.
Например, если А={1,2,4}, B={3,4,5,2}, то А ∩ В = {2,4}

Разностью множеств А и В называется множество АВ, элементы которого принадлежат множесву А, но не принадлежат множеству В.
Например, если А={1,2,3,4}, B={3,4,5}, то АВ = {1,2}

Симметричной разностью множеств А и В называется множество А Δ В, являющееся объединением разностей множеств АВ и ВА, то есть А Δ В = (АВ) ∪ (ВА).
Например, если А={1,2,3,4}, B={3,4,5,6}, то А Δ В = {1,2} ∪ {5,6} = {1,2,5,6}

Основные числовые множества

Натуральные числа — числа, которые мы используем для счёта объектов. Множество натуральных чисел обозначается N

Простые числа - натуральные числа, имеющие ровно два различных натуральных делителя: 1 и самого себя.

Целые числа  - множество целых чисел есть ноль и «плюс-минус натуральные».

Рациональные числа - числа, которые можно представить дробью m/n, где m— целое число, а n— натуральное.

Действительные (вещественные) числа - расширение множества рациональных чисел.

Иррациональные числа — это все вещественные числа, которые не являются рациональными.

Множество X R называется ограниченным сверху, если существует такое число b R, что для всех x X имеет место неравенство x < b.

Множество X называется ограниченным снизу, если существует такое число a R, что для всех x X выполняется неравенство x > a.

Множество, ограниченное сверху и снизу, называется ограниченным.

Множество X называется неограниченным сверху, если для любого числа b R найдется такой x X, что x > b.
Множество натуральных чисел N является примером ограниченного снизу множества. Если a R и b R, то отрезок [a, b] представляет собой ограниченное множество. Множества рациональных чисел Q, иррациональных чисел I, вообще всех чисел R дают примеры неограниченных множеств.

Окре́стность точки — множество, содержащее данную точку, и близкие (в каком-либо смысле) к ней.

Пусть задано топологическое пространство , где — произвольное множество, а — определённая на топология. Множество называется окрестностью точки , если существует открытое множество такое, что .

24. Понятие функции. Способы задания функции. График функции. Обратная функция. Элементарные функции.

Функция — это соответствие между двумя множествами, при котором каждому элементу одного множества соответствуетединственныйэлемент другого множества.

Функцию можно задать несколькими способами:

аналитическим (с помощью формулы), графическим, табличным, описанием с помощью словесной формулировки).

График функции — множество точек, у которых абcциссы являются допустимыми значениями аргумента , а ординаты — соответствующими значениями функции .

Функцию y=f(x), x∈X называют обратимой, если любое своё значение она принимает только в одной точке множества X (иными словами, если разным значениям аргумента соответствуют разные значения функции).

Основными элементарными функциями являются: постоянная функция (константа), корень n-ой степени, степенная функция, показательная, логарифмическая функция, тригонометрические и обратные тригонометрические функции.

25. Числовая последовательность и ее предел. Бесконечно большие и бесконечно малые последовательности. Свойства сходящихся последовательностей.

Числовой последовательностью называется бесконечное множество чисел x₁, x₂,…, x_n, следующих одно за другим в определенном порядке и построенных по определенному закону, с помощью которого x_nзадается как функция целочисленного аргумента n, то есть x_n = f(n)

Теорема: Числовая последовательность не может иметь более одного предела.

Число a называется пределом последовательности {x_n} если для любого числа ԑ> 0 существует такой номер n₀ = n₀(ԑ), что при n ≥ n₀ выполняется неравенство |x_n – a| <ԑ.

Теоремы: Предел суммы/разности двух последовательностей равен сумме/разности пределов от каждой из них, если последние существуют; Предел произведения двух последовательностей равен произведению пределов от каждой из них, если пределы сомножителей существуют; Предел отношения двух последовательностей равен отношению пределов от каждой из них, если эти пределы существуют и предел знаменателя не равен нулю;

Последовательность называется бесконечно малой последовательностью (б.м.п.), если для любого существует номер такой, что для любого выполняется неравенство:

Последовательность называется бесконечно большой (б.б.п.), если для любого существует номер такой, что для любого выполняется неравенство:

Последовательность называется сходящейся, если существует такое вещественное число а, что последовательность является бесконечно малой. При этомвещественноечисло а называется пределом последовательности

Свойства сходящихся последовательностей 1)Если последовательность { an } сходится, то ее предел единственный.2) Если последовательность сходится, то она ограничена

3) Если последовательность { an } сходится к числу a 0, то вся последовательность { an } лежит вне окрестности нуля (0), начиная с некоторого номера. 4) Если для всех n, an bn и ^{, , то} 5) Если для всех n, x_n z_n y_n и

^то

26. Монотонные последовательности. Теорема Вейерштрасса.Последовательность называется монотонной, если она убывающая или возрастающая.

Последовательность называется монотонно возрастающей, если для любого ,

Последовательность называется монотонно убывающей, если для любого ,

Теорема Вейерштрасса: Если последовательность является нестрого возрастающей (нестрого убывающей) и ограничена сверху (снизу), то является сходящейся.

27. Второй замечательный предел. Число е.

где е - число Эйлера. Это число иррациональное и приближенно равно е = 2.718281828.... Логарифмы с основанием е называются натуральными

28. Предел функции в точке (по Коши и по Гейне) и на бесконечности. Односторонние пределы функции. Бесконечно малые и бесконечно большие функции.

Пусть задано некоторое числовое множество и каждому поставлено в соответствие число , тогда говорят, что на множестве задана функция , .

Число называется пределом функциив точке , если для такое, что для из того, что следует, что : или при .

Число называется пределом функциив точке , если для любой последовательности , которая сходится к , соответствующая последовательность значений функции сходится к .

Рассмотрим функцию , заданную на .

Число называется пределом функции на бесконечности или при , если для любого существует число такое, что для всех из того, что , выполняется неравенство .

Односторонний предел — предел числовой функции, подразумевающий «приближение» к предельной точке с одной стороны. Такие пределы называют соответственно левым и правым пределами.

Число называется правым пределом функции в точке , если для такое, что для любого и , выполняется неравенство .Правый предел обозначается

Число называется левым пределом функции в точке , если для такое, что для любого и , выполняется неравенство . Левый предел обозначается

Функция называется бесконечно малой функцией (б.м.ф.) при (или в точке ), если

Функция , обратная к б.м функции , есть функция бесконечно большая.

29. Непрерывность функции в точке. Свойства функций, непрерывных в точке. Односторонняя непрерывность. Точки разрыва функций и их классификация. Непрерывность элементарных функций.

Функция называется непрерывной в точке , если:

1. функция определена в точке и ее окрестности;

2. существует конечный предел функции в точке ;

3. это предел равен значению функции в точке , т.е.

При нахождении предела функции , которая является непрерывной, можно переходить к пределу под знаком функции, то есть

Теорема1. Все основные элементарные функции непрерывны в каждой точке своей области определения.

Теорема2. Пусть функции и  непрерывны Тогда функции  также непрерывны в точке (последняя при условии, что ).

Теорема3. Если и функция непрерывна в точке , то , или .

Теорема4. Пусть функция непрерывна а функция  непрерывна в точке . Тогда сложенная функция  непрерывна в точке .

Односторонняя непрерывность: Говорят, что функция непрерывна в точке справа (слева), если выполняется предельное соотношение: Если же то или другое из этих соотношений не осуществляется, то функция имеет в точке разрыв, соответственно, справа или слева.

Точка , в которой нарушено хотя бы одно из трех условий непрерывности функции, а именно:

1. функция определена в точке и ее окрестности;

2. существует конечный предел функции в точке ;

3. это предел равен значению функции в точке , т.е.

называется точкой разрыва функции.

Если в точке существуют конечные пределы и , такие, что , то точка называется точкой разрыва первого рода.

Если хотя б один из пределов или не существует или равен бесконечности, то точка называется точкой разрыва второго рода.

Если существуют левый и правый пределы функции в точке и они равны друг другу, но не совпадают со значением функции в точке : или функция не определена в точке , то точка называется точкой устранимого разрыва.

Функция называется элементарной, если она построена из конечного числа композиций и комбинаций
(с использованием 4 действий - сложение, вычитание, умножение и деление) основных элементарных функций.

Каждая элементарная функция, заданная в окрестности некоторой точки, непрерывна в этой точке.

30. Первый замечательный предел.

или

31. Три важных предела.

1 или 2

limx→∞(1+ax)bx=eab.limx→∞(1+ax)bx=eab.limx→0ln(1+x)x=1.limx→0ln⁡(1+x)x=1.

limx→0ex−1x=1.limx→0ex−1x=1.limx→0ax−1xlna=1,a>0,a≠1.limx→0ax−1xln⁡a=1,a>0,a≠1.

limx→0(1+x)a−1ax=1.

32. Сравнение бесконечно малых и бесконечно больших функций. Символы «о» и «О». Эквивалентные функции, их применение к вычислению пределов функций.

Функция  называется бесконечно большойпри ,если для любого числа M>0 существует число = (М)>0, что для всех х, удовлетворяющих неравенству 0< , выполняется неравенство . Записывают .

Функция  называется бесконечно большойпри ,если для любого числа M>0 найдется такое число N=N (М)>0, что для всех х, удовлетворяющих неравенству , выполняется неравенство .

Всякая бесконечно большая функция в окрестности точки х0 является неограниченной в этой окрестности.

Функция  называется бесконечно малой при ,если : для любого числа >0 найдется число >0 такое, что для всех х, удовлетворяющих неравенству 0< , выполняется неравенство .

Теорема: алгебраическая сумма конечного числа бесконечно малых функций есть бесконечно малая функция.

Теорема: произведение ограниченной функции на бесконечно малую функцию есть функция бесконечно малая.

Следствие: так как всякая б.м.ф. ограничена, то из теоремы вытекает произведение двух б.м.ф. есть функция бесконечно малая.

Следствие: произведение б.м.ф. на число есть функция бесконечно малая.

Теорема: частное от деления бесконечно малой функции на функцию, имеющую отличный от нуля предел, есть функция бесконечно малая.

Теорема: если функция - бесконечно малая, то обратная ей функция – бесконечно большая и наоборот.

«O» большое и «o» малое — математические обозначения для сравнения асимптотического поведения функций. Это не равенство в обычном смысле, а несимметричное отношение

Эквивалентные бесконечно малых функций необходимы если нужно находить границы без применения правила Лопиталя

33. Функции, непрерывные на отрезке и их свойства: теоремы Вейерштрасса, теорема Коши о прохождении функции через нуль, теорема Коши о промежуточном значении.

Функция называется непрерывной на отрезке , если она является непрерывной в интервале , непрерывной справа в точке , то есть и непрерывной слева в точке , то есть .

1. Теорема Вейерштрасса. Если функция непрерывна на отрезке, то она достигает на этом отрезке свои наибольшее и наименьшее значения.

2. Непрерывная на отрезке функция является ограниченной на этом отрезке.

3. Теорема Больцано-Коши. Если функция является непрерывной на отрезке и принимает на концах этого отрезка неравные между собой значения, то есть , , то на этом отрезке функция принимает и все промежуточные значения между и .

4. Если функция , которая непрерывна на некотором отрезке , принимает на концах отрезка значения разных знаков, то существует такая точка такая, что .

34. Производная функции, ее геометрический и физический смысл. Односторонние производные. Уравнения касательной и нормали к кривой.

Производной функции f(x) (f'(x₀)) в точке x₀ называется число, к которому стремится разностное отношение , стремящемся к нулю.

Геометрический смысл производной. Производная в точке x₀ равна угловому коэффициенту касательной к графику функции y=f(x) в этой точке