Решение смешанной задачи для уравнения

 параболического типа методом сеток

Рассмотрим смешанную задачу для однородного уравнения теплопроводности. Задача состоит в отыскании функции u(x,t), удовлетворяющей в области  уравнению

                                                         (3.1)    

 начальному условию                                                    (3.2)

и граничным условиям первого рода  .            (3.3)

К задаче (3.1)-(3.3) приводит, в частности, задача о распространении тепла в однородном стержне длины а, на концах которого поддерживается заданный температурный режим. Граничные условия второго и третьего рода в данной лабораторной работе не рассматриваются. Замена переменных   приводит уравнение (3.1) к виду

                                 ,

поэтому в дальнейшем будем считать . 

Построим в области D равномерную прямоугольную сетку с шагом  h в направлении x  и шагом t  в направлении t (рис.3.1).

                        Рис.3.1.

Обозначим узлы сетки через , а приближенные значения функции  в этих узлах - . Тогда , , , , , .

Аппроксимируем уравнение (3.1) на четырехточечном шаблоне, который изображен на рис.3.1. (такой шаблон не единственный). В результате получаем неявную двухслойную разностную схему

                     ,                     (3.4)

которая аппроксимирует уравнение (3.1) с погрешностью , причем .

Схема (3.4) аппроксимирует уравнение (3.1) только во внутренних узлах сетки, поэтому число уравнений в схеме (3.4) меньше числа неизвестных . Недостающие уравнения получают из граничных условий

.                          (3.5)

Схема (3.4)-(3.5) –неявная, поэтому значения  находят как решение системы линейных уравнений (3.4). Для решения системы (3.4) можно применять любой алгоритм решения систем линейных уравнений, однако система (3.4) обладает трехдиагональной матрицей и рациональнее всего решать ее методом прогонки. Таким образом, решив систему разностных уравнений, найдем значения функции  на временном слое , если известно решение на временном слое .

Алгоритм численного решения задачи имеет следующий вид: на нулевом временном слое  решение известно из начального условия . На каждом следующем слое искомая функция определяется как решение системы (3.4)-(3.5).

Применение неявной схемы при вычислениях обеспечивает ее устойчивость при любых значениях параметра l. Преимущества такой схемы особенно ощутимы при сравнении с явной схемой, которая получается при аппроксимации уравнения (3.1) на шаблоне, изображенном на рис.3.2.   

Рис.3.2.

 Явная схема оказывается устойчивой только при , т.е. при . Это означает, что вычисления по явной схеме придется вести с очень малым шагом по t, что может привести к большим затратам машинного времени. В неявной схеме вычисления на одном шаге требуют больше операций, чем в явной схеме, но зато величину шага t можно выбрать как угодно большой без риска нарушить устойчивость схемы. Все это позволяет значительно уменьшить машинное время, необходимое для решения задачи. Схема (3.4) обладает сходимостью. Это означает, что при , решение разностной задачи (3.4)-(3.5) стремиться к точному решению смешанной задачи (3.1)-(3.3).

Пример 3.1. Найти приближенное решение уравнения , удовлетворяющее условиям  и .

Решение

Выберем по аргументу х шаг . Шаг по  выберем . Записываем в таблицу 3.1 начальные и краевые значения. Учитывая их симметрию, заполняем таблицу только для . Значения функции  на первом слое находим, используя значения на начальном слое и краевые условия, по формуле

.

Так, при . Таким образом, получаем

,

 и т.д.

Записываем полученные значения   во вторую строку таблицы 3.1.

После этого переходим к вычислению значений на втором слое по формуле . Подобным образом определяем последовательно значения  при .

В двух последних строках таблицы 3.1 приведены значения точного решения  задачи и модуля разности  при , что говорит о точности предложенного метода.

                                                                                       Таблица 1.

i	x t	0	0,1	0,2	0,3	0,4	0,5
0   1   2   3   4   5	0   0,005   0,010   0,015   0,020   0,025   0,025   0,025	0   0   0   0   0   0   0   0	0,3090  0,2939  0,3795  0,2658  0,2528  0,2404   0,2414   0,0010	0,5878  0,5590  0,5316  0,5056  0,4808  0,4574   0,4593   0,0019	0,8090   0,7699   0,7318   0,6959   0,6619   0,6294   0,6321   0,0027	0,9511  0,9045  0,8602  0,8182  0,7780  0,7400   0,7454   0,0031	1,0000  0,9511  0,9045  0,8602  0,8182  0,7780   0,7813   0,0033

Пример 3.2. Методом прогонки найти решение уравнения , удовлетворяющее условиям , , .

Решение

Возьмем ,  и .

Найдем значения  на слое .

Прямой ход. Записываем в строке  таблицы 3.2 значения функции , находим по формулам

; , ,

при j = 0 числа .

Запишем по формулам

,

при

 и т.д.

Результаты вычислений представлены в таблице 3.2.

Значения   откуда .

                                                                                                Таблица 3.2.

Обратный ход. Из краевых условий получаем . Значения  вычисляются по формулам

при

………………………………………………………

.

Варианты заданий.

Решить смешанную задачу для уравнения теплопроводности   c начальным условием   и граничными условиями

Номер вари-анта		a	b	c	d
c       d       l    X Y   b     a 0              d          l   X  Y c   a     b  c        d        X Y   b     a   5     6     7   8   9   10		0 1 1 1   1,2   1,6     9,0   11,0   7,0   5,0	0 2 3 0   3,5   5,5     4,0   6,0   15,5   17,0	0,15   0,55     21,00   23,00   0,20   0,30	1   1     0,05   0,35   0,45   0,55

Литература

1. Самарский А.А. Теория разностных схем. - М.: Наука, 1990.

2. Тихонов А.Н., Самарский А.А. Уравнения математической физики. - М.: Наука, 1977.

3. Бахвалов Н.С. Численные методы. - М.: Наука, 1973.

4. Годунов С.К., Рябенький В.С., Разностные схемы. - М.: Наука, 1973.

5. Пискунов Н.С. Дифференциальное и интегральное исчисления. - М.: Наука, 1976.

6. Копченова Н.В., Марон И.А. Вычислительная математика в примерах и задачах. - М.: Наука, 1972.

Содержание

1. Введение .............................................................................................. 3

2. Лабораторная работа №1. Решение задачи Дирихле для уравнения

Лапласа методом сеток........................................................................ 5

3. Варианты заданий............................................................................. 10

4. Лабораторная работа №2. Решение смешанной задачи для уравне-

ния гиперболического типа методом сеток ..................................... 11

5. Варианты заданий ............................................................................ 15

6. Лабораторная работа №3. Решение смешанной задачи для уравне-

ния параболического типа методом сеток........................................ 16

7. варианты заданий ............................................................................. 23

Литература........................................................................................ 24

Учебное издание

Лабораторные работы по уравнениям математической физики

для студентов строительных специальностей