Колебания в колебательном контуре

Дата       Фамилия  Группа

Лабораторная работа №45

I.Название работы:

Изучение колебательного контура

Цель работы

Изучение колебательного контура и его характеристик

II.Краткое теоретическое обоснование:

Колебания в колебательном контуре

Колебательные процессы широко распространены в природе и технике. Примером колебаний различных физических величин являются колебания маятников, струн, мембран телефонов, звук, свет, а также переменный электрический ток, представляющий собой электрические колебания. Для всех этих явлений характерна общность закономерностей и математических методов исследования. Так, например, процессы, протекающие при электрических колебаниях, аналогичны процессам, протекающим при механических колебаниях.

Простейшей колебательной системой и механике является груз, подвешенный на пружине и движущейся без трения (рис.1).Груз, выведенный из положения равновесия, совершает гармонические колебания, при которых смещение из положения равновесия изменяется со временем по закону синуса. Когда груз находится в крайних положениях (1 и 3), его кинетическая энергия равна нулю, а потенциальная энергия достигает максимального значения. При прохождении равновесия (2 и 4) потенциальная энергия становится минимальной, а кинетическая энергия груза достигает максимального значения. Мы имеем в данном случае периодическое превращение кинетической энергии системы в потенциальную и обратно. Подобные превращения энергии наблюдаются и при электрических колебания.

Электрические колебания могут возникнуть в замкнутой цепи, содержащей индуктивность, и емкость. Такая цепь называется колебательным контуром (рис.1)

 Рассмотрим колебательный контур, состоящий из конденсатора емкости C, катушки с индуктивностью L и ключа K (рис.2). Предположим, что омическое сопротивление цепи равно нулю. При разомкнутом ключе K зарядим конденсатор до разности потенциалов φ₁ − φ₂ = U_с, подключив его к источнику тока. На обкладках конденсатора появятся разноименные заряды величины Q₀, и между обкладками возникнет электрическое поле, энергия  которого равна

Если замкнуть ключ K, то конденсатор начнет разряжаться, в цепи возникнет электрический ток i, изменяющийся с течением времени. Наличие тока в цепи приведет к возникновению магнитного поля, которое в основном будет сосредоточено внутри катушки. Энергия электрического поля будет уменьшаться со временем, а энергия магнитного поля − увеличиваться. Через некоторое время конденсатор разрядится полностью, электрическое поле исчезнет совсем, а энергия магнитного поля достигнет и максимального значения:

При этом вся энергия электрического поля превратиться в энергию магнитного поля, так как потери энергии на нагревание не происходит.

В последующие моменты времени магнитное поле начнет исчезать, потому что отсутствуют токи, его поддерживающие. Исчезновение магнитного поля приведет к возникновению индукционного тока, который в соответствии с законом Ленца будет стремиться поддержать ток разряда конденсатора и будет, иметь с ним одно направление. Поэтому конденсатор перезарядится, и между его обкладками возникнет электрическое поле противоположного направления.                                                                                                                                                                                                                                               Через некоторое время магнитное поле исчезает совсем, а его энергия снова превратится в энергию электрического поля. В дальнейшем те же процессы будут протекать в обратном порядке, система придет в первоначальное состояние, и весь процесс будет повторяться снова. Таким образом, в контуре возникнут электрические колебания заряда на обкладках конденсатора, напряжения на конденсаторе и силы тока в цепи. Колебания сопровождаются взаимными превращениями энергии электрического и магнитного полей. Такие колебания, происходящие под действием процессов в самом колебательном контуре, называются собственными электрическими колебаниями. Если омическое сопротивление контура равно нулю, то процесс периодического превращения электрической энергии в магнитную и обратно будет продолжаться сколь угодно долго, т.е. колебания будут незатухающие.

Собственные незатухающие колебания можно описать с помощью математических уравнений.

Будем считать что, ток, текущий в контуре при разрядке конденсатора, квазистационарный т.е. в каждый момент времени сила тока во всех сечениях контура одинакова. Тогда для мгновенного значения электрических величин можно применить законы постоянного тока. Применим для рассматриваемого контура второй закон Кирхгофа, согласно которому сумма падений напряжения в контуре равна сумме действующих в нем ЭДС

                                                       U_c = E_c                                                        (1)

где E_c − ЭДС самоиндукции.

Учитывая, что

уравнение (1) перепишем в виде

или

Обозначив 1 / LC через ω₀², получим дифференциальное уравнение собственных незатухающих колебаний

Решением этого уравнения является функция

                                                   Q = Q₀ cos (ω₀t + φ)                                       (2)

показывающая, что заряд на обкладках конденсатора изменяется по гармоническому закону

В (3) Q₀ − амплитуда колебаний, φ − начальная фаза, а ω₀ − частота собственных незатухающих колебаний, равная

Период собственных незатухающих колебаний равен:

или

Формула (4) называется формулой Томсона

Одновременно с зарядом колеблются напряжение на обкладках конденсатора и сила тока в цепи. Эти колебания совершаются по следующим законам:

где U₀ − амплитуда напряжения, а l₀ − амплитудное значение тока.

Сравнивая (3), (5) и (6), видим, что сила тока, заряд и напряжение изменяются по гармоническому закону. Но между напряжением и током существует разность фаз.