Неделя 10. Практика 5.11.2014 прямая в 3-мерном пространстве, кривые

Группы РТФ

ПРАКТИКА 

Неделя 1. Практика 3.9.2014

Входной контроль (тест) по школьной программе

Неделя 2. Практика 10.9.2014

Действия над матрицами, сложение, умножение. Определители 2,3 порядка.

Разложение определителя по строке.

Задача 1. Даны матрицы

Найти .   Ответ  

(использовать приведение подобных  =  )

Задача 2. Дана матрица  найти   Ответ .

Задача 3. Дана матрица  найти     Ответ .

Задача 4. Даны матрицы  Найти .   Ответ .

Задача 5. Решить систему, заданную в матричном виде:   Ответ .

Задача 6. Даны матрицы  

Найти .   Ответ ,

Задача 7. Даны матрицы     Найти . Ответ .

Задача 8. Найти определитель  Ответ: 18 Задача 9. Найти определитель  Ответ: - 21

Задача 10. Найти определитель  Ответ: 5 Задача 11. Найти опр-ль  Ответ: -12

Задача 12. Решить уравнение  Ответ: 0, 2, -4

(Задача 13). Найти произведение     Ответ .

(Задача 14). Дана матрица  (соотв. оператору поворота на 90⁰) Найти   Ответ

(соотв. оператору поворота на 180⁰)

Неделя 3. Практика 17.9.2014

Определители.

Задача 1. Найти определитель  Ответ: 11.   

Задача 2. Найти определитель  Ответ: 0

Методом разложения по 1-й строке и методом преобразования к треугольному виду, сравнить.

Задача 3. Найти ранг матрицы.  

Решение. Преобразуем матрицу. Ко 2-й строке прибавим 1-ю, а от третьей отнимем удвоенную 1-ю.  теперь к третьей прибавим вторую  

Ранг равен 3, так как есть невырожденный минор 3 порядка. Ответ r(A) = 3.

Замечание. Если бы на месте a₃₃ изначально было число -2, то ранг был бы меньше, так как в итоге получилась бы третья строка из всех 0.

Задача 3а. Найти ранг матрицы.  Решение. преобразуется к . Ответ r(A) = 2.

Задача 4. Найти ранг матрицы.       Ответ: 1.

Задача 5. 4.18 (из практикума)

Задача 6. 4.19 (из практикума)

Задача 7. Найти обратную матрицу     Ответ

Задача 8. Решить матричное уравнение. ,    Ответ .

Неделя 4. Практика 24.9.2014

Обратная матрица и решение систем линейных уравнений матричным методом.

Задача 1. Найти обратную матрицу     Ответ

Задача 2. Матричным методом решить систему уравнений   Ответ =2, =1, =1.

Задача 3. Найти обратную матрицу     Ответ

Задача 4. Матричным методом решить систему уравнений   Ответ =1, =1, =0.

Векторная алгебра. Скалярное, векторное, смешанное произведение.

Задача 5. Найти скалярное и векторное произведение векторов: (1,3,-2) и (3,1,-5).

Ответ скалярное: 16, векторное: (-13, -1, -8).

Задача 6, 7, 8:

Векторы a,b выражены через p,r: , . , угол между ними 45 град.

Задача 6. Найти (a,b). Ответ 29. 

Задача 7. Найти | [a,b] |. Ответ 50. 

Задача 8. Найти | a | ². Ответ 257. 

Неделя 5. Практика 1.10.2014

1. (8.16) Найти косинус угла между векторами . Отв. 9/19

Нужно воспользоваться тем, что скалярное произведение = произв. модулей на косинус угла.

2. (8.18) Найти проекцию вектора на ось  Отв. 2.

3. (8.19) Вычислить площадь параллелограмма, образованного векторами , если , , угол между p,q равен . Отв. 92

Координаты в новом базисе. (2-3 задачи).

4.  Найти новые координаты вектора (3,2). Отв. (1,1).

5.  Найти новые координаты вектора (5,4). Отв. (4,1).

6. . Найти новые координаты вектора (0,3,4). Отв. (1,2,-1).

Контрольная по темам 1 Умножение матриц 2 Определители   

3 Ранг матрицы 4 Обратная матрица 

Неделя 6. Практика 8.10.2014  Работа над ошибками в контрольной (15 минут)

1. Решить систему уравнений методом Гаусса   

Ответ = -1 =1, =4.

2. Решить систему уравнений методом Гаусса   

Ответ =1, =2, = -1.

Задача 3. Решить однородную систему, найти ФСР   Ответ (-1,-4,3)

Задача 4. Решить однородную систему, найти ФСР  

Задача 5. Решить однородную систему, найти ФСР (задача с произвольными параметрами)

Задача 6. Построить матрицу линейного оператора в 2-мерном пространстве

Задача 7. Построить матрицу линейного оператора в 3-мерном пространстве

Задача 8. Построить матрицу линейного оператора (задача с произвольными параметрами)

Неделя 7. Практика 15.10.2014

Найти собственные числа и векторы для следующих линейных операторов:

Задача 1.   Задача 2.    Задача 3.

Задача 4. Доказать, что линейный оператор  не имеет собственных векторов.

Задача 5. 1,1 (1,0,2) (0,1,2) 2 (1,0,3)    Задача 6.

Задача 7.Привести к главным осям квадратичную форму: Q(x,y) = 14 +24 +21

(30 +5 )

Запасная задача 8: Привести к главным осям квадратичную форму: Q(x,y,z) = 3 - - -6 -6 -6

Ответ характеристическое уравнение Л³-Л²-32Л+60=0 Кв.форма: 2 +5 -6

Неделя 8. Практика 22.10.2014

1. Построить уравнение прямой (на плоскости) по точке M₀ (1,2) и перпендикуляру n(3,5).

Ответ 3х+5у-13=0

2. Построить уравнение прямой (на плоскости) по точке M₀ (1,2) и направляющему l (3,5).

Ответ 5х-3у+1=0

3. Построить уравнение прямой по точке и перпендикуляру (с произвольными параметрами).

4. Построить уравнение прямой по точке и направляющему вектору (с произвольными параметрами).

5. Построить уравнение прямой по 2 точкам (1,2) и (6,9) Ответ 7х-5у+3=0

6. Найти расстояние от точки (1,4) до прямой 6х+2у-15=0. Ответ .

7. Найти 2 точки на оси Ох, отстоящие от прямой 3х+5у-2=0 на расстояние d=3. Отв

8. Найти расстояние между параллельными прямыми  и  

(указание: берётся точка на одной и ищется расстояние до второй, как раньше).  Ответ

9. Даны три точки А,В,С. Вывести уравнение прямой,содержащей АВ и найти расстояние от точки С до этой прямой (= высота треугольника АВС).     Ответ х+2у-17=0, расстояние d=0

10. Найти пересечения прямой 3х-4у+12=0 с осями координат и площадь треугольника, который она отсекает от одной из координатных четвертей. Ответ (-4,0) и (0,3), S = 6.

11. Найти точку пересечения двух прямых 3х-4у+12=0 и 5х+5у-6=0. Отв

12.(10.17) Составить уравнение средней линии треугольника А(5,-4), В(-1,3), С(-3,-2). Ответ х+4у=0 13. (10.23) При каком А три прямых 2х-у+3=0 ; х+у+3=0 ; Ах+у-13=0 пересекаются в одной точке Ответ А = - 7.

14. Построить уравнение плоскости, проходящей через точку (1,2,3) перпендикулярно вектору (1,4,2)     Ответ х+4у+2z -15=0

Неделя 9. Практика 29.10.2014

1. Построить уравнение плоскости по точке (2,2,8) и перпендикуляру (3,3,7). ( )

2. Построить уравнение плоскости по точке и перпендикуляру (с произвольными параметрами).

3. Построить уравнение плоскости по точке (-2,3,7) и 2 направляющим векторам (4,2,3) и (2,-5,0).     ( )

4. Построить уравнение плоскости по трём точкам. А(1,2,3), В(3,5,7), С(4,5,6). (отв )

5. Найти расстояние от точки M₀ (1,3,5) до плоскости   d = 0  

Точка M₀ (7,15,22) d = .

6. Задача на повторение соб. чисел и векторов перед контрольной

Контрольная на  45 минут: 5 Неоднородные системы 6 Однородные системы 

7 Собственные числа и векторы   8 Уравнения прямой и плоскости

Неделя 10. Практика 5.11.2014 прямая в 3-мерном пространстве, кривые

Задача 1. Найти угол между двумя плоскостями  и .  

Номали  и .   Скал. произведение 2. Модули  и . Ответ .

Задача 2.Найти угол между прямой  и плоскостью

Направляющий  нормаль плоскости . Скал. произв. 9. Модули  и .

Угол

Задача 3. Построить уравнение прямой в пространстве (каноническое, параметрическое, уметь строить оба вида и переводить один в другой) по точке (2,-3,4) и направляющему (1,2,3). 

или

Задача 4. Найти параметрические и канонические уравнения прямой, перпендикулярной к плоскости треугольника с вершинами А(0,-2,3), В(3,1,3), С (-3,-1,0).  

Реш. Направляющие АВ и АС это (3,3,0) и (-3,1,-3). Векторное произведение (-9,9,12).

Направляющий для прямой можно взять тогда (-3,3,4).

Канон , параметрические:

Задача 5. Построить уравнение прямой, лежащей в пересечении двух плоскостей. 

 и .

Векторное произведение нормалей здесь (-4, 19,13). Чтобы взять произвольную точку из пересечения, можно положить z = 0 и решить систему, вычислив x, y. Получим (0,-2,0).

Отв.  или

Задача 6. Доказать, что прямая  пересекает ось Оz и найти точку пересечения. Отв. (0,0,1).

Задача 7. (12.22) Доказать, что две прямые в пространстве  и  

пересекаются и найти точку пересечения.

Нужно решить систему, положив в первых равенствах t₁ а во вторых t₂. Получим, при каких

t₁ и t₂  достигается одна и та же точка. Затем подставить t₁ в первые уравнения либо t₂  во вторые, получим одни и те же значения для x,y,z Ответ (3,7,-6).

Задача 8. (12.34) Вычислить расстояние от точки (2,3,-1) до прямой  в пространстве. ответ 21.

Задача 9.(12.35) Вычислить расстояние между скрещивающимися прямыми.

 и    Ответ 13.

Неделя 11. Практика 12.11.2014

Задача 1(13.16). Доказать, что кривая - эллипс, найти центр и полуоси.  Здесь надо выделить полный квадрат, и привести к каноническому виду эллипса. Ответ центр (3,-1), полуоси 3 и .

Основы мат. анализа, множества и функции.

Задача 2. Доказать, что любую функцию можно представить в виде суммы чётной и нечётной.

Задача 3. Доказать нечётность функции .

Задача 4. Найти композицию f(f(f(x))) если . Отв. f(f(f(x))) = x.

Основы пределов. Предел последовательности

5.  (отв. 1/3)     6.  (отв. 2) 

7.  (3) 8. (1)   9.     (3/2)

Пределы функций.  

10.  (отв. 6)     11.  (отв. 0)       12.  (отв. 1/3)   

13.  (отв. 10/9) 14.  (отв. 5/3)

Неделя 12. Практика 19.11.2014

1.  (отв. 27) 2.   (так и по пр. Лопиталя)(отв. 1/3). 3. (отв.-3)     4.  (отв. 1/2) 5.  (отв. -2) 6.  (отв.0)       7.  (отв.1/6)      8.  (отв. 1/4) 9.  (отв. 24) 10.  отв.     11. отв.

12.  отв.   13.  отв.   14.  отв.

Неделя 13. Практика 26.11.2014

1.  отв. 2 2.  отв.     3.  замена, отв.        4а,б. и отв. 4,-2

5.   отв. 1.    6.   отв. 6. по пр. Лопиталя

7.  (16/50) 8.   = 2  

Контрольная 35-45 минут

9 Предел последовательности 10 Предел функции, с неопределённостью 0/0.

11 Предел функции, 1-й замеч. lim     12 Предел функции, 2-й замеч. lim

Неделя 14. Практика 3.12.2014 Производная   

1.   2.      3.     4.

5.  и  2 способа сравнить

6.  после первой пр. ост cos^-2  , показать 2 способа.  

7.   отв

8. Для вектор-функции      или

9.      

10. Найти 1-ю и 2-ю производную для  найти  

Отв :1-я , =2.

11. Дана функция  Найти . Отв .

12.  найти , . Отв. (1 и -е).

13. Найти 1-ю и 2-ю производную для  . Отв

14.   Дана функция . Найти:   в точке .

Неделя 15. Практика 10.12.2014

1.   Дана функция . Найти: а) координаты вектора   в точке ;

2.   Дана функция . Найти:  а) координаты вектора   в точке  и

 в точке  в направлении вектора . (отв 6)

3. Дана функция . Найти: а) координаты вектора  в точке  и

 в точке  в направлении вектора . (отв 2/3)

КАСАТЕЛЬНАЯ

4.  Найти касательную к графику  в точке с абсциссой 2 а затем расстояние от этой прямой до начала координат   Отв y = 4x-4 ( )

5.  На графике функции  взята точка . Касательная к графику в точке  наклонена к оси  под углом, тангенс которого равен . Найти ординату точки . (2)

6.   Найти уравнение касательной к графику  в точке  и площадь треугольника, который она отсекает от одной из координатных четвертей. y = 12x-4, 2/3. 

7. Найти уравнение касаетльной к кривой  в точке  и точки её пересечения с осью Ох и Оу.

ЭКСТРЕМУМЫ

8. Найти экстремумы функции

9.  Найти интервалы монотонности и экстремумы

Неделя 16. Практика 17.12.2014

1.  Найти интервалы монотонности и экстремумы . Её график: 2. Найти интервалы монотонности и экстремумы График  и : 3.  Дана функция . Найти её наибольшее и наименьшее знач. на отрезке . 4.  Дана функция . Найти её наибольшее и наименьшее значения на отрезке .

5. Найти асимптоты графика функции . 6. Найти асимптоты графика функции    Ответ 2x-2   7. Найти асимптоты графика функции .   8 и далее: Общее повторение Градиент, экстремум

Неделя 17. Практика 24.12.2014   Контрольная 45 минут:  

1 и 2 производная для f(x)     Частные производные для f(x,y),  градиент.

Уравнение касательной     Экстремумы функции на [a,b].

* Вторые 45 минут: исправление долгов.

Примечания.