Сферические и цилиндрические координаты и их применение.

Планы практики 143 групп с конца декабря 2013

Неделя 17: практика 1 (25-26.12.13)

3 задачи на частные производные и производную по направлению:

1. Дана функция . Найти: а) координаты вектора  в точке ;

б)  в точке  в направлении вектора .  

2.   Дана функция . Найти: а) координаты вектора   в точке ;

б)  в точке  в направлении вектора . (отв 6)

3. Дана функция . Найти: а) координаты вектора  в точке ;

б)  в точке  в направлении вектора . (отв 2/3)

ФЕВРАЛЬ 2014 

Неделя 1 практика 1

1.  Дана функция . Найти:  координаты вектора   в точке ;

и  в точке  в направлении вектора .       отв

2. Дана функция . Найти:  координаты вектора   в точке ;

и  в точке  в направлении вектора .      отв

3. Дана функция . Найти:  координаты вектора   в точке ;

и  в точке  в направлении вектора . отв

4,5. Найти экстремум функции  и  в плоскости (применение матрицы вторых производных для определения типа экстремума).

6. Найти условный экстремум функции  на множестве

7. Найти наибольшее и наименьшее значение  в квадрате

Неделя 1 практика 2

* Найти условный экстремум функции  на прямой

* Найти условный экстремум функции  на единичной окружности.

* Найти наибольшее и наименьшее значение  в области, ограниченной линиями .

* Найти соотношение радиуса и высоты цилиндра, так чтобы при фиксированном объёме площадь поверхности была наименьшей.

* Доказать, что функция  удовлетворяет уравнению

.

* Найти касательную плоскость к поверхности  в точке с абсц (1,1).

Неделя 2 практика 1

параметрически заданные функции и их дифференцирование

* Найти  и , если  Вычислить  и .

* Найти  и , если  Вычислить  и .

неявно-заданные функции и их дифференцирование

* Функция  задана неявно уравнением .

Вычислить: а) ; б) .

* Функция  задана неявно уравнением .

Вычислить: а) ; б) .

Дифференциал

* Найти , если . Вычислить значение , если , .

* Найти , если . Вычислить значение , если , .

Неделя 2 практика 2

* Дана функция  и точки  и . Вычислить  и  при переходе из точки  в точку .

* Дана функция  и точки  и . Вычислить  и  при переходе из точки  в точку .

формула Тейлора

Вывести формулу Тейлора до 3-й степени для .

Разложить многочлен  по степеням  с помощью ф. Тейлора.

Разложить многочлен  по степеням  с помощью ф. Тейлора.

С помощью композиций разложить функцию  по формуле Тейлора.

 или  разложение с помощью формулы беск. геометрической прогрессии по .

Неделя 3 практика 1:

Интегралы, основные методы, подведение по диифференциал

Неделя 3 практика 2:

Вывод формулы из таблицы интегралов:    

 по рекуррентной формуле.

Неделя 4 практика 1:

45 минут - контрольная работа. Темы:

1) производная по направлению и частные производные 2) экстремумы, наибольшее и наименьшее значение 3) подведение под знак дифференциала 4) интегрирование «по частям»

Второй урок:   Интегрирование рац. дробей, повторение теории, примеры

Все корни знаменателя различны:  Есть кратные корни:    

Неделя 4 практика 2:

Кратные корни:            Комплексные корни:  

 Иррациональности и тригонометрические функции:

                         (две замены).

Неделя 5 практика 1:

Иррац-ти:      

Тригонометрия: Универсальная подстановка:          

Замены при нечётном порядке функции:      

Замены при чётной суммарной степени:               

Неделя 5 практика 2:

Примеры, решаемые с помощью замен, сводящих к тригонометрическим функциям:

отв: , , ,

Определённый интеграл

,   ,   

Неделя 6 практика 1:

Приложения определённого интеграла

Найти S фигуры, ограниченной линиями

Найти S фигуры, ограниченной линиями

найти длину кривой L

1.

2. Одного витка винтовой линии в пространстве

3.

Неделя 6 практика 2:

* Найти длину кривой в полярных координатах:       (8a)  

* Найти объём тела вращения, полученного вращением кривой  вокруг оси 0x,

отв.

* С помощью метода вычисления объёмов тел вращения, доказать формулу объёма конуса.

Скалярное произведение функций, Ряд Фурье.  

* Найти скалярное произведение (x, e^x) на интервале (0,1).

* Доказать, что если f чётная, g нечётная, то (f,g)=0 на интервале (-с,с).

* Найти условия на параметры a,b так, чтобы (x, x²) = 0 на интвервале (-a,b).

* Найти ряд Фурье и преобразование Фурье для функции:

* Найти ряд Фурье для функции:  на интервале (-2, 2).

Неделя 7 практика 1:

Ряд Фурье, преобразование Фурье с помощью определённого интеграла

* Найти ряд Фурье для функции:

* Найти преобразование Фурье для нечётной функции:  

* Найти преобразование Фурье для чётной функции:  

2 половина пары: Несобственный интеграл.  

Вычислить , , , , ,

Неделя 7 практика 2:

Несобственный интеграл (вся тема до конца)

выяснить сх-сть - нес. инт. 1 рода: , , ,  

2-го рода:  ,  ,  , , , .

Комбинированный пример на несобств интеграл 1 и 2 рода   

Неделя 8 практика 1:

45 минут - контрольная по пройденным темам:

Неопределённый интеграл: интегрирование: 8) рац. дробей, 9) иррациональностей 10) тригонометрических выражений

Определённый интеграл: 11) по формуле Ньютона-Лейбница 12) несобственный интеграл

45 минут - Начало темы «двойные интегралы». 

    (1)    (е-2)   треуг. (0,0),(1,0),(0,1) (1/3)

Двойной инт по треуг-ку. (0,0),(1,2),(2,1) (15/2)

Неделя 8 практика 2:

* Записать пределы интегрирования 2 способами для области, ограниченной кривыми , , .

* Изменить порядок интегрирования: ,

* Изменить порядок интегрирования:

Тройные интегралы, вычисление объёмов тел.

* Вычислить тройной интеграл    по кубу

* Вычислить

* Вычислить  по тетраэдру с вершинами (0,0,0), (1,0,0), (0,1,0), (0,0,1)

* Найти объём тела, ограниченного поверхностями:  

 в декартовых координатах. Ответ .

Задача. Найти объём тела, ограниченного поверхностями:  в декартовых координатах. Ответ .

Неделя 9 практика 1:

Найти объём тела, ограниченного поверхностями, в декартовых координатах:

 отв .

ПОЛЯРНЫЕ КООРДИНАТЫ.

Вычислить в полярных координатах , где D - четверть круга радиуса 1

Вычислить в полярных координатах

Вычислить в полярных коорд интеграл по полукругу радиуса 1 в правой полупл. от f (x,y)= x.    (2/3)

Записать в полярных координатах двойной интеграл по треугольнику с вершинами (0,0), (1,0), (1,1).

Определим границы роста радиуса в зависимости от угла поворота. Для этого нужно задать линию x = 1

в полярных координатах. Подставим выражение x через полярные координаты в уравнение этой линии, получим , тогда .

Записать в полярных координатах двойной интеграл по треугольнику с вершинами (0,0), (1,0), (0,1).

Задача. Доказать с помощью формулы площади поверхности, что площадь сферы равна .

Решение. Если из уравнения  сферы радиуса R выразить переменную z, то получим

, это уравнения верхней и нижней полусферы. Рассмотрим верхнюю полусферу:  и применим формулу площади явно заданной поверхности, то есть . Здесь , , подставим в формулу, получим  где D - круг радиуса R (проекция полусферы на плоскость Oxy, то есть область определения функции f). Далее, после преобразований получается . Переходим к полярным координатам:

 =  =  =

 =  = .

Неделя 9 практика 2:

* Найти площадь поверхности Ответ:

Сферические и цилиндрические координаты и их применение.

* Вычислить объём тела, ограниченного снизу конусом , а сверху - сферой радиуса , в сферических координатах. Ответ: .

* Вычислить в сферических координатах: .

* Вычислить объём тела, ограниченного цилиндром  и двумя плоскостями

в цилиндрических координатах. Ответ: .

* Вычислить объём тела, ограниченного цилиндром  и двумя плоскостями   в цилиндрических координатах. Ответ: .

* Найти работу поля  при перемещении по ,    (-28/3)

Неделя 10 практика 1:

* Найти работу поля  при перемещении по ,    (118/105)

* найти работу поля  по ,  

Потенциал

* Найти потенциал или доказать, что не потенциально    ответ    

* Найти потенциал или доказать, что не потенциально    ответ    

* Найти потенциал или доказать, что не потенциально    ответ: не потенциально

* Найти потенциал или доказать, что не потенциально    ответ    

* Найти потенциал или доказать, что не потенциально    ответ .   

* Найти потенциал или доказать, что не потенциально    ответ .

* Найти потенциал или доказать, что не потенциально . ответ

Неделя 10 практика 2:

* найти поток векторного поля через поверхность  в 1 октанте. (1/2).

* найти поток векторного поля    через поверхность .

Формула Грина

* * Вычислить а) без формулы Грина б) по формуле Грина: работу поля  по единичной окружности .

* * Вычислить а) без формулы Грина б) по формуле Грина:

, где L - граница верхнего полукруга радиуса 1. .

* Вычислить по формуле Грина: , где L - треугольник с вершинами (0,0), (0,1), (1,1). .

* По ф-ле Грина , контур L  - граница четверти круга (в 1-й четверти).

Неделя 11 практика 1:

* Вычислить дивергенцию и ротор поля .

Формулы Стокса, Остроградского-Гаусса и их применение.

* найти циркуляцию поля  по треугольнику с вершинами (1,0,0), (0,1,0), (0,0,1).

* найти поток поля  через поверхность куба с ребром длины 1. .

* найти поток поля  через поверхность, огр. эллиптическим параболоидом   и плоскостью .