Площадь поверхности (с помощью двойного интеграла).

РТФ ПРАКТИКА ВЕСНА 2015

(Неделя 1) Практика 1. 10.2.2015

Понятие первоообразной и неопределённого интеграла.

Бесконечное множество первообразных,

Раздача таблицы интегралов. Объяснение причины возникновения модуля в

Случаи D>0 и D<0 для дискриминанта знаменателя

разложение на простейшие дроби либо выделение полного квадрата и сведение к arctg.

Тригонометрические преобразования.  решается преобразованием по формулам понижения степени.

Метод подведения под знак дифференциала.

Практика 2. 14.2.2015

1.     2.   3.    4.   

5.  6.     7.  8.

9.

Интегрирование по частям:

10. 11.    12.   13.     14.   

(Неделя 2) Практика 3. 21.2.2015

1.     Ответ  

2. Вывод формулы  для интегралов  типа .

3.   4.  

Рац.дроби. Все корни знаменателя различны: 

5.   6.     7.    (отв. С равны 1/2, -1, 1/2)

8.          9. ((отв. С равны -0,5, 1,5) 10.

 (Неделя 3) Практика 4. 24.2.2015

Кратные корни:  1.   (4/9, 5/3, 5/9)

2. (0, -1, 1/2 , -1/2 )        3.    (1/4, 1/4, -1/4, 1/4). 

Комплексные корни: 4.     (коэф 1/4, -1/4, 0)      5.    (коэф 1,1,1) 

Иррациональности 6.    7.     8.  

Практика 5. 28.2.2015

Иррациональности: 1.    

Тригонометрические: 2.         3.       4. 5.

С помощью универсальной тригонометрической подстановки: 6.         

Иррациональности с применением тригонометрических замен: 7.      8.

Определённый интеграл.     9.      10.

(Неделя 4) Практика 6. 7.3.2015 

Определённый интеграл и его приложения

1. , 2. 3.       4.

5.    6.     7.

8. Найти S фигуры, ограниченной линиями

9. Пример с применением S для обратной функции для .

10. Найти площадь области, ограниченной линиями    5/6 

 (Неделя 5) Практика 7. 14.3.2015 

1. найти длину кривой

2. Найти длину 1 витка винтовой линии в пространстве

3. Найти объём тела, полученного вращением кривой  вокруг оси 0x,  отв

4. С помощью метода вычисления объёмов тел вращения, доказать формулу объёма конуса.

5. Найти несобственный интеграл  (1/5)

6. Найти несобственный интеграл

7. пример на повторение из прошлых тем.

Контрольная работа 45 минут. Темы 1-й контрольной (14 марта)

1 Подведение под знак дифференциала, интегрирование по частям

2 Интегрирование рациональных дробей 

3 Интегрирование иррациональностей и тригонометрических функций

4 Определённый интеграл, его приложения

(Неделя 6) Практика 8. 21.3.2015

Несобственный интеграл. Выяснить сходимость по признакам сравнения:

Двойные интегралы в декартовых координатах. Вычисление.

1.     (отв 1) 2.    (отв е-2)

3.   по треуг. (0,0),(1,0),(0,1) (1/3)

4. по треуг-ку. (0,0),(1,1),(1,2)  

Двойные интегралы в декартовых, описание области D.

1. Записать пределы интегрирования 2 способами для области, ограниченной кривыми , , .

2. Изменить порядок интегрирования:

3. Изменить порядок интегрирования:

Двойные интегралы в полярных.

1. Вычислить в полярных координатах , где D - четверть круга радиуса 1

2. Вычислить в полярных координатах

3. Вычислить в полярных коорд интеграл по полукругу радиуса 1 в прав. полупл, f (x,y)= x. (2/3)

4. Записать в полярных координатах двойной интеграл по треугольнику с вершинами (0,0), (1,0), (1,1).

Определим границы роста радиуса в зависимости от угла поворота. Для этого нужно задать линию x = 1

в полярных координатах. Подставим выражение x через полярные координаты в уравнение этой линии, получим , тогда . 

(Неделя 7) Практика 9. 24.3.2015    

Площадь поверхности (с помощью двойного интеграла).

1. Найти площадь поверхности Ответ:

2. Доказать с помощью формулы площади поверхности, что площадь сферы равна .

Решение. Если из уравнения  сферы радиуса R выразить переменную z, то получим , это уравнения верхней и нижней полусферы. Рассмотрим верхнюю полусферу:  и применим формулу площади явно заданной поверхности, то есть . Здесь , , подставим в формулу, получим  где D - круг радиуса R (проекция полусферы на плоскость Oxy, то есть область определения функции f). Далее, после преобразований получается . Переходим к полярным координатам:

 =  =  =

 =  = .