Что такое математическое ожидание, дисперсия, средний квадрат дискретной величины

P(A + B) = P(A) + P(B) − P(AB)

Р(АВС) = Р(А)*Р(В | А)*Р(С | АВ)

P(A+B+C) = P(A)+P(B)+P(C)−P(AB)−P(AC)−P(BC)+P(ABC)

       1.4.9. Система состоит из четырех приемников с непересекающимися сферами. Длительность сигнала такова, что он не может быть одновременно обнаружен двумя приемниками. Найти связь событий: A - сигнал обнаружен системой, - сигнал обнаружен i-м приемником.

ОтветP(A_i)= 0,25.

       1.4.10.Прибор состоит из двух блоков первого типа и трех блоков второго типа. Определены события:  - исправен i-й блок первого типа;  - исправен j-й блок второго типа. Прибор исправен, если работает хотя бы один блок первого типа и не менее двух блоков второго типа. Выразить событие «Прибор работает» через события  и .

P(A_i)=1/2.

P(B_j)=1/3.

Вероятность того что работает сразу 2 блока второго типа =(1-1/3)*1/3=2/9

Вероятность того что работает прибор =2/9*1/2=1/9

Ответ1/9.

       1.4.11. Что является полным описанием дискретной случайной величины?

 Случайной величиной называется такая переменная величина, которая в результате опыта может принимать то или иное заранее неизвестное значение , из известного множества значений .

       Дискретная случайная величина может принимать конечное или бесконечное множество значений , которые можно пронумеровать

Что такое математическое ожидание, дисперсия, средний квадрат дискретной величины

Наиболее важными числовыми характеристиками случайной величины  с множеством значений  и законом распределения вероятностей  являются:

Математическим ожиданием дискретной случайной величины называется

сумма произведений всех ее возможных значений на их вероятности:

- математическое ожидание;

- средний квадрат;

Дисперсией случайной величины X называется математическое ожидание

квадрата отклонения случайной величины от ее математического ожидания:

 - дисперсия.

       1.4.13. Показать, что математическое ожидание суммы независимых случайных величин равно сумме математических ожиданий этих величин.

M (X + Y) = M (X) + M (Y).

Доказательство.

Доказательство. Для упрощения вычислений ограничимся случаем, когда Х и Y принимают только по два возможных значения:

Тогда возможными значениями X + Y являются х₁ + у₁, х₁ + у₂,х₂ + у₁, х₂ + у₂. Обозначим их вероятности соответственно как р₁₁, р₁₂, р₂₁ и р₂₂. Найдем М( Х +Y) = (x₁ + y₁)p₁₁ + (x₁ + y₂)p₁₂ + (x₂ + y₁)p₂₁ + (x₂ + y₂)p₂₂ =

= x₁(p₁₁ + p₁₂) + x₂(p₂₁ + p₂₂) + y₁(p₁₁ + p₂₁) + y₂(p₁₂ + p₂₂).

Докажем, что р₁₁ + р₂₂ = р₁. Действительно, событие, состоящее в том, что X + Y примет значения х₁ + у₁ или х₁ + у₂ и вероятность которого равна р₁₁ + р₂₂, совпадает с событием, заключающемся в том, что Х = х₁ (его вероятность – р₁). Аналогично доказывается, что p₂₁ + p₂₂= р₂, p₁₁ + p₂₁ = g₁, p₁₂ + p₂₂ = g₂. Значит,

M(X + Y) = x₁p₁ + x₂p₂ + y₁g₁ + y₂g₂ = M (X) + M (Y).

       1.4.14. Показать, что математическое ожидание произведения независимых случайных величин равно произведению матожиданий этих величин.

M(XY) = M(X)M(Y).

Доказательство. Для упрощения вычислений ограничимся случаем, когда Х и Y принимают только по два возможных значения:

Тогда ряд распределения для XY выглядит так:

Следовательно, M(XY) = x₁y₁·p₁g₁ + x₂y₁·p₂g₁ + x₁y₂·p₁g₂ + x₂y₂·p₂g₂ = y₁g₁(x₁p₁ + x₂p₂) + +y₂g₂(x₁p₁ + x₂p₂) = (y₁g₁ + y₂g₂) (x₁p₁ + x₂p₂) = M(X)·M(Y).

       1.4.15. Доказать, что дисперсия суммы независимых случайных величин равна сумме дисперсий этих величин.

D(X + Y) = D(X) + D(Y).

Т.к.D(X) = M(X ²) – M ²(X). – свойство дисперсии

Доказательство. D(X + Y) = M(X² + 2XY + Y²) – (M(X) + M(Y))² = M(X²) + 2M(X)M(Y) + M(Y²) – M²(X) – 2M(X)M(Y) – M²(Y) = (M(X²) – M²(X)) + (M(Y²) – M²(Y)) = D(X) + D(Y).

       1.4.16. Вывести расчетное соотношение для дисперсии через матожидание  и средний квадрат где  - возможные значения случайной величины;  - вероятность этих значений.

Ответ:

1.4.17. Показать, что для среднеарифметического независимых случайных величин  с одинаковыми средними  и дисперсиями  выполняются соотношения