Теорема об обратной функции.

Теорема.

Если функция f возрастает (или убывает) на промежутке I, то она обратима. Обратная к f функция g, определенная в области значений f, также является возрастающей (соответственно убывающей).

Доказательство.

Положим для определенности, что функция f возрастающая. Обратимость функции f — очевидное следствие теоремы о корне . Поэтому остается доказать, что функция g, обратная к f, возрастает на множестве E(f).

Пусть x₁ и x₂ — произвольные значения из Е (f), такие, что x₂> x₁. и пусть y₁=g(x₁), y₂=g(x₂). По определению обратной функции x₁=f(y₁) и x₂=f(y₂).

Воспользовавшись тем условием, что f — возрастающая функция, находим, что допущение y₁ ≥ y₂ приводит к выводу f (y₁)≥f(y₂), т. е. x₁≥ x₂. Это противоречит предположению x₂> x₁. Поэтому y₂> y₁ , т. е. из условия x₂> x₁ следует, что g (x₂)>g (x₁).

Именно это и требовалось доказать.