Средняя квадратическая погрешность арифметической средины

Пусть точность результатов измерений l₁, l₂, …, l_n характеризуется средними квадратическими погрешностями

m₁ = m₂ = ¼ = m_n = m

и требуется найти среднюю квадратическую погрешность M арифметической средины.

Представим формулу (9.11) в следующем виде:

L = .                                                                                       (9.13)

Среднюю квадратическую погрешность арифметической средины найдем как погрешность функции измеренных величин по формуле (9.10)

                                                             (9.14)

или

                                                                                                                       9.15)

Формула (9.15) показывает, что погрешность арифметической средины с ростом числа измерений убывает пропорционально квадратному корню из этого числа. Так, чтобы погрешность среднего арифметического уменьшить в 2 раза, число измерений надо увеличить в 4 раза.

Обработка результатов равноточных измерений

Математическая обработка ряда результатов l₁, l₂, …, l_n прямых равноточных измерений одной величины выполняется в следующей последовательности:

1. Вычисляют среднее арифметическое L

                 L =      .                                                                            (9.16)

2. Вычисляют поправки к v_i результатам измерений

                 (i = 1, 2, …, n)                                                          (9.17)

Контролем правильности вычислений служит сумма поправок, которая должна быть близка к нулю.

3. Вычисляют среднюю квадратическую погрешность одного измерения по формуле Бесселя:

                 .                                                                                  (9.18)

Значение m вычисляют с двумя-тремя значащими цифрами.

Вычисляют среднюю квадратическую погрешность среднего арифметического

                  .                                                                                       (9.19)

Математическая обработка результатов прямых неравноточных измерений

Веса измерений. Неравноточными называют измерения, выполненные приборами различной точности, разным числом приемов, в различных условиях.

При неравноточных измерениях точность каждого результата измерений характеризуется своей среднеквадратической погрешностью. Наряду со средней квадратической погрешностью при обработке неравноточных измерений пользуются относительной характеристикой точности – весом измерения. Вес i-го измерения вычисляют по формуле

                                                                                                        (9.20)

где с – произвольная постоянная, назначаемая вычислителем, m_i – средняя квадратическая погрешность i-го измерения.

Так, имея ряд результатов измерений l₁, l₂, ..., l_n , со средними квадратическими погрешностями m₁ ,  m₂ , ..., m_n , определяют их веса:

                 p₁ = c / m₁², p₂ = c / m₂² , ..., p_n = c / m_n².                                        (9.21)

Часто постоянную с для удобства дальнейших вычислений назначают так, чтобы веса p_i оказались целыми числами.

Рассмотрим смысл произвольной постоянной с. Предположим, что в результате фиксирования значения с вес j-го измерения стал равен 1, то есть p_j = c / m_j² = 1. Отсюда находим c = m_j². Следовательно, постоянная с есть квадрат средней квадратической погрешности m² такого измерения, вес которого принят за единицу (с = m²).

Теперь (9/20) можем записать так

                                                                                                                (9.10)

Кратко m называют средней квадратической погрешностью единицы веса. 

РАЗДЕЛ 3. ГЕОДЕЗИЧЕСКИЕ ИЗЫСКАНИЯ И ТОПОГРАФИЧЕСКАЯ СЪЁМКА

ЛЕКЦИЯ 10 ИЗМЕРЕНИЯ ГОРИЗОНТАЛЬНЫХ УГЛОВ И МАГНИТНЫХ НАПРАВЛЕНИЙ ПРИ ПОМОЩИ БУССОЛЕЙ, ГОНИОМЕТРОВ. ИЗМЕРЕНИЯ ПРИ ПОМОЩИ ЭКЕРОВ И ЭКЛИМЕТРОВ

10. 1 Измерения горизонтальных и вертикальных углов