Средняя квадратическая погрешность функции измеренных величин

В практике геодезических измерений определяемые величины обычно являются функциями других, непосредственно измеряемых величин. Рассмотрим функцию u независимых переменных x, y, z, …

                 u = f (x,y,z)                                                                                       (9.5)

Продифференцируем функцию (9.5) по всем переменным и заменим дифференциалы du, dx, dy, dz, …погрешностями Du, Dx,Dy,Dz, ….Получим выражение, определяющее истинную погрешность функции через погрешности аргументов

                                                            (9.6)

Получили выражение случайной погрешности Du в зависимости от случайной комбинации погрешностей Dx,Dy,Dz, …. Положим, что имеем n таких комбинаций, которым соответствует n выражений:

                                                      (9.7

(i = 1, 2, …, n)          

Возведем полученные выражения в квадрат, сложим и разделим на n:

                   (9.8)

где квадратными скобками обозначены суммы.

Устремим число комбинаций в бесконечность (n ® ¥) и, воспользовавшись выражениями (9.2) и (9.3), получим:

, , , , .      (9.9)

И окончательно

                                           (9.10)

Итак, квадрат средней квадратической погрешности функции общего вида равен сумме квадратов произведений частных производных по каждой переменной, умноженных на их средние квадратические погрешности.

Частные случаи.

1. Функция u является суммой переменных x , y, z: 

u = x + y + z.

В этом случае              .

Следовательно m²_{u =} m²_x + m²_y + m²_z

2. Функция u является разностью переменных x и y: 

u = x - y.

В этом случае =1, =-1.

Следовательно m²_{u =} m²_x + m²_y

3. Функция u имеет вид: 

u = k× x,

где k – постоянный множитель. Теперь = k, поэтому = k²×  и  m_u = k× m_x.

4. Функция u является линейной функцией от x, y, z, …:

u = k₁ x + k₂ y + k₃ z …,

где k_i ­постоянные множители. Теперь частные производные равны

=k₁, = k₂, = k₃.

Поэтому           .

Рассмотрим примеры.

Пример 1. Определить среднюю квадратическую погрешность превышения, вычисленного по горизонтальному расстоянию d=124,16 м и углу наклона n=2°16’, если m_d = 0,06 м, а m_n = 1’.

Превышение вычисляют по формуле

h = d tgν.

Продифференцируем формулу по переменным d и n:

,.

Используя формулу общего вида (9.4) получим

Подставляя исходные данные, найдем

где 3438¢ -­ число минут в радиане.

И окончательно m_h=0,036 .м.

Пример 2. При геометрическом нивелировании превышение вычисляют как разность отчетов по рейкам

h = a - b.

Отчеты берут с точностью m_a = m_b = 2 мм. Находим среднюю квадратическую погрешность превышения

= 2,8 мм

Пример 3. Выведем формулу допустимой угловой невязки замкнутого теодолитного хода. Невязку вычисляют по формуле:

f_b = b₁ + b₂ + ¼+ b_n = 180°(n - 2),

где b_i – измеренные углы (i = 1, 2, ¼, n) и n – их число.

Невязка - результат погрешностей в углах b_i. Поэтому средняя квадратическая погрешность невязки равна

m_f = = ,

где m₁ = m₂ =¼ = m_n = m – средняя квадратическая погрешность измерения угла. Примем ее равной m = 0,5¢.

Допуском угловой невязки (f_b)_доп служит предельная погрешность (f_b)_пред=2m_f. Получаем формулу

(f_b)_доп = 1¢ .

Математическая обработка результатов прямых равноточных измерений

Арифметическая средина результатов равноточных измерений. Пусть имеем результаты многократных равноточных измерений одной величины: l₁, l₂, …, l_n. Рассмотрим их среднее арифметическое

                                                                                    (9.11)

Из (9.11) следует l_i= Х + Δ_i (i = 1, 2, … n). Поэтому напишем

= X - .                     (9.12)

Согласно (9.2) с увеличением числа измерений сумма случайных погрешностей, деленная на их число, стремится к нулю, и, следовательно, среднее арифметическое L стремится к истинному значению Х. Поэтому значение определяемой величины принимают равным среднему арифметическому.