Условие параллельности прямой и плоскости

Прямая и плоскость параллельны, если скалярное произведение направляющего вектора  прямой и нормального вектора  плоскости равно нулю.

Условие параллельности прямой и плоскости (Рис. 3):

Рис. 3

Условие перпендикулярности прямой и плоскости

Прямая и плоскость перпендикулярны, если направляющий вектор  прямой и нормальный вектор  плоскости, коллинеарны.

Условие перпендикулярности прямой и плоскости (Рис. 4):

Рис. 4

Условие принадлежности прямой плоскости

Условие принадлежности прямой плоскости (Рис. 5):

Рис. 5

Точка пресечения прямой с плоскостью

Точка пресечения прямой с плоскостью:

Чтобы решить систему, нужно от канонических уравнений прямой перейти к параметрическим уравнениям:

.

Подставляя эти выражения для x, y, z в уравнение плоскости, определяем параметр t.

Подставляя найденное значение t в параметрическое уравнение, получаем координаты искомой точки пересечения прямой и плоскости.

Задачи

Задача 1. Найти угол между прямой , ,  и плоскостью .

Решение

Запишем уравнения данной прямой в виде . Теперь, используя формулу (1) при , , , , , , получим .

Таким образом, .

Задача 2. Составить параметрические уравнения прямой, проходящей через точку  и перпендикулярной плоскости . Найти точку M прямой, соответствующую значению параметра .

Решение

Так как нормальный вектор  данной плоскости перпендикулярен ей, то по условию он должен быть параллелен искомой прямой. Так как , , , , , , получаем параметрические уравнения прямой: .

При  находим , , , т. е. получаем точку .

Задача 4. Найти точку пересечения прямой  с плоскостью .

Решение

Запишем уравнение прямой в параметрическом виде: , , . Подставляя значения x, y, z в уравнение плоскости, имеем , откуда .

Подставляя теперь это значение t в параметрические уравнения прямой, находим координаты точки пересечения: , , , .

Задача 6. Дана прямая  и вне ее точка . Найти точку N, симметричную M относительно данной прямой.

Решение

Составим уравнение плоскости, проходящей через точку M перпендикулярной к данной прямой.  или .

Найдем точку Q, в которой эта плоскость пересекает данную прямую. Запишем уравнения прямой в параметрическом виде: , , .

Подставляя x, y, z в уравнение плоскости, получим , , .

Точка Q имеет координаты . Тогда координаты симметричной точки можно найти из формул координат середины отрезка, т. е. ; ;  

; ; .

Откуда ; ; . Следовательно, .