Острый угол между прямой и плоскостью

Лекция №11. Прямая в пространстве. Прямая и плоскость.

Уравнения прямой в пространстве

Общее уравнение прямой

Прямая в пространстве рассматривается как линия пересечения двух плоскостей.

Общее уравнение прямой в пространстве: .

Канонические уравнения прямой

Определение: Каждый не равный нулю вектор, лежащий на данной прямой или параллельный ей, называется направляющим вектором  этой прямой.

Канонические уравнения прямой, проходящей через точку  и параллельной вектору  (Рис. 1):

Рис. 1

Если  - углы между прямой и координатными осями ,  и , ;

;

,

, ,  - называются направляющими косинусами прямой.

Параметрические уравнения прямой

Параметрические уравнения прямой: .

Замечание 1.

В уравнениях t рассматривается как произвольно изменяющийся параметр; x, y, z – как функции от t.

Замечание 2.

Параметрические уравнения прямой удобно применять в тех случаях, когда требуется найти точку пересечения прямой с плоскостью.

Уравнение прямой, проходящей через две данные точки

Уравнение прямой, проходящей через две данные точки  и :

.

Через две точки можно провести единственную прямую.

Углом между прямыми в пространстве будем называть любой из углов, образованных двумя прямыми, проведенными через произвольную точку параллельно данным прямым.

Угол между прямыми ,  и ,  определяется по формуле:

.

Для нахождения острого угла между прямыми числитель правой части формулы следует взять по модулю.

Замечание 1.

За угол  между прямыми можно принять угол между их направляющими векторами  и .

Замечание 2.

В формуле можно ставить любой знак, что соответствует выбору одного из двух различных углов между данными прямыми.

Условие параллельности двух прямых.

Условие параллельности двух прямых: .

Это условие можно получить, заметив, что векторы  и  коллинеарны.

Условие перпендикулярности двух прямых.

Условие перпендикулярности двух прямых: .

Прямые перпендикулярны, если скалярное произведение направляющих векторов  и  равно нулю.

Условие при котором две прямые лежат в одной плоскости

Пусть прямые  и  заданы каноническими уравнениями

,

, .

Прямая  проходит через точку , прямая  проходит через точку . Тогда . Прямые  и  лежат в одной плоскости, если векторы ,  и  компланарны. Условием компланарности векторов является равенство нулю их смешанного произведения: , т. е.

.

При выполнении этого условия прямые  и  лежат в одной плоскости, т. е. либо пересекаются, если , либо параллельны .

Задачи

Задача 1. Общие уравнения прямой преобразовать к каноническому виду.

Решение

Первый способ

Наметим такой план решения задачи: из системы исключим сначала y и выразим z через x, потом исключим x и выразим z теперь уже через y.

Для того, чтобы из системы исключить y, сложим первое уравнение системы почленно со вторым. Получим, что , откуда , .

Умножая первое уравнение системы (9) на 2, а второе на (-3) и складывая их почленно, получим ,

откуда

или .

Сравнивая найденные значения z, получаем уравнения прямой в каноническом виде:  или .

Умножая теперь все знаменатели на 15, окончательно получим . Прямая проходит через точку  и имеет направляющий вектор .

Второй способ

Найдем направляющий вектор  прямой. Так как он должен быть перпендикулярен нормальным векторам заданных плоскостей  и , то в качестве его можно взять векторное произведение векторов  и : .

Таким образом, , , . За точку , через которую проходит искомая прямая, можно принять точку ее пересечения с любой из координатных плоскостей, например, с плоскостью . Поскольку при этом , координаты  и  определяются из системы уравнений заданных плоскостей, если положить в них .

 отсюда получаем , .

Итак, искомые канонические уравнения прямой имеют вид  или .

Замечание.

В общем случае точка  может быть другой.

Задача 2. Составить уравнение прямой, проведенной через точку  перпендикулярно двум данным прямым: , .

Решение

Способ первый

Запишем уравнения любой прямой, проходящей через точку M:  (*).

Из условия ее перпендикулярности к данным прямым, имеем

Откуда ; .

Подставляя найденные значения в (*) получим:  или .

Способ второй

, где  - направляющий вектор искомой прямой. Из условия задачи следует, что .

Следовательно, направляющим вектором искомой прямой может быть вектор  или .

Таким образом, имеем  - канонические уравнения искомой прямой.

Прямая и плоскость

Острый угол между прямой и плоскостью

Углом  между прямой и плоскостью будем называть любой из двух смежных углов, образованных прямой и ее проекцией на плоскость (Рис. 2).

Рис. 2

Острый угол между прямой  и плоскостью  определяется по формуле:

Замечание.

Угол  находим из скалярного произведения нормального вектора  плоскости и направляющего вектора  прямой.

Так как , то .