Студопедия КАТЕГОРИИ: АвтоАвтоматизацияАрхитектураАстрономияАудитБиологияБухгалтерияВоенное делоГенетикаГеографияГеологияГосударствоДомЖурналистика и СМИИзобретательствоИностранные языкиИнформатикаИскусствоИсторияКомпьютерыКулинарияКультураЛексикологияЛитератураЛогикаМаркетингМатематикаМашиностроениеМедицинаМенеджментМеталлы и СваркаМеханикаМузыкаНаселениеОбразованиеОхрана безопасности жизниОхрана ТрудаПедагогикаПолитикаПравоПриборостроениеПрограммированиеПроизводствоПромышленностьПсихологияРадиоРегилияСвязьСоциологияСпортСтандартизацияСтроительствоТехнологииТорговляТуризмФизикаФизиологияФилософияФинансыХимияХозяйствоЦеннообразованиеЧерчениеЭкологияЭконометрикаЭкономикаЭлектроникаЮриспунденкция |
Острый угол между прямой и плоскостьюСтр 1 из 2Следующая ⇒
Лекция №11. Прямая в пространстве. Прямая и плоскость. Уравнения прямой в пространстве Общее уравнение прямой Прямая в пространстве рассматривается как линия пересечения двух плоскостей. Общее уравнение прямой в пространстве: . Канонические уравнения прямой Определение: Каждый не равный нулю вектор, лежащий на данной прямой или параллельный ей, называется направляющим вектором этой прямой. Канонические уравнения прямой, проходящей через точку и параллельной вектору (Рис. 1): Рис. 1 Если - углы между прямой и координатными осями , и , ; ; , , , - называются направляющими косинусами прямой. Параметрические уравнения прямой Параметрические уравнения прямой: . Замечание 1. В уравнениях t рассматривается как произвольно изменяющийся параметр; x, y, z – как функции от t. Замечание 2. Параметрические уравнения прямой удобно применять в тех случаях, когда требуется найти точку пересечения прямой с плоскостью. Уравнение прямой, проходящей через две данные точки Уравнение прямой, проходящей через две данные точки и : . Через две точки можно провести единственную прямую. Прямая линия в пространстве. Основные задачи Угол между прямыми Углом между прямыми в пространстве будем называть любой из углов, образованных двумя прямыми, проведенными через произвольную точку параллельно данным прямым. Угол между прямыми , и , определяется по формуле: . Для нахождения острого угла между прямыми числитель правой части формулы следует взять по модулю. Замечание 1. За угол между прямыми можно принять угол между их направляющими векторами и . Замечание 2. В формуле можно ставить любой знак, что соответствует выбору одного из двух различных углов между данными прямыми. Условие параллельности двух прямых. Условие параллельности двух прямых: . Это условие можно получить, заметив, что векторы и коллинеарны. Условие перпендикулярности двух прямых. Условие перпендикулярности двух прямых: . Прямые перпендикулярны, если скалярное произведение направляющих векторов и равно нулю. Условие при котором две прямые лежат в одной плоскости Пусть прямые и заданы каноническими уравнениями , , . Прямая проходит через точку , прямая проходит через точку . Тогда . Прямые и лежат в одной плоскости, если векторы , и компланарны. Условием компланарности векторов является равенство нулю их смешанного произведения: , т. е. . При выполнении этого условия прямые и лежат в одной плоскости, т. е. либо пересекаются, если , либо параллельны .
Задачи
Задача 1. Общие уравнения прямой преобразовать к каноническому виду. Решение Первый способ Наметим такой план решения задачи: из системы исключим сначала y и выразим z через x, потом исключим x и выразим z теперь уже через y. Для того, чтобы из системы исключить y, сложим первое уравнение системы почленно со вторым. Получим, что , откуда , . Умножая первое уравнение системы (9) на 2, а второе на (-3) и складывая их почленно, получим , откуда или . Сравнивая найденные значения z, получаем уравнения прямой в каноническом виде: или . Умножая теперь все знаменатели на 15, окончательно получим . Прямая проходит через точку и имеет направляющий вектор . Второй способ Найдем направляющий вектор прямой. Так как он должен быть перпендикулярен нормальным векторам заданных плоскостей и , то в качестве его можно взять векторное произведение векторов и : . Таким образом, , , . За точку , через которую проходит искомая прямая, можно принять точку ее пересечения с любой из координатных плоскостей, например, с плоскостью . Поскольку при этом , координаты и определяются из системы уравнений заданных плоскостей, если положить в них . отсюда получаем , . Итак, искомые канонические уравнения прямой имеют вид или . Замечание. В общем случае точка может быть другой. Задача 2. Составить уравнение прямой, проведенной через точку перпендикулярно двум данным прямым: , . Решение Способ первый Запишем уравнения любой прямой, проходящей через точку M: (*). Из условия ее перпендикулярности к данным прямым, имеем Откуда ; . Подставляя найденные значения в (*) получим: или . Способ второй , где - направляющий вектор искомой прямой. Из условия задачи следует, что . Следовательно, направляющим вектором искомой прямой может быть вектор или . Таким образом, имеем - канонические уравнения искомой прямой. Прямая и плоскость Острый угол между прямой и плоскостью Углом между прямой и плоскостью будем называть любой из двух смежных углов, образованных прямой и ее проекцией на плоскость (Рис. 2). Рис. 2 Острый угол между прямой и плоскостью определяется по формуле: Замечание. Угол находим из скалярного произведения нормального вектора плоскости и направляющего вектора прямой. Так как , то . |
||
Последнее изменение этой страницы: 2018-06-01; просмотров: 220. stydopedya.ru не претендует на авторское право материалов, которые вылажены, но предоставляет бесплатный доступ к ним. В случае нарушения авторского права или персональных данных напишите сюда... |