Построение нелинейной модели (параболическая модель)

Характер расположения точек на диаграмме рассеяния позволяет сделать предположение о параболической регрессионной зависимости

                   .                               

Оценки параметров b₀ , b₁ и b₂ найдем методом наименьших квадратов. Для этого составим функцию S(b₀ , b₁ , b₂), которая в случае параболической регрессии примет вид

.             

Для отыскания оценок параметров b₀ , b₁ и b₂, минимизирующих функцию S(b₀ , b₁ , b₂) , составим и решим систему нормальных уравнений :

Þ Þ

Разделим обе части уравнений (1,2,3) на (-2):

Þ ÞÞ Þ

Для вычисления значений сумм, входящих в систему уравнений , составим расчетную таблицу 4.4.

После подстановки значений система уравнений примет вид:

Таблица 4 .4 – Результаты промежуточных вычислений

Вес грузового состава, т,	Время нахождения поезда на участке, час.,
5100,58	4,2	26015916	1,33	6,77	21422,44	109266848,6
4885,41	4,078	23867231	1,17	5,70	19922,70	97330567,48
5416,94	4,23	29343239	1,59	8,61	22913,66	124121900,8
4496,66	4,001	20219951	0,91	4,09	17991,14	80900024,57
4722,08	4,044	22298040	1,05	4,97	19096,09	90173271,84
5537,91	4,208	30668447	1,70	9,41	23303,53	129052825,7
5074,01	4,11	25745577	1,31	6,63	20854,18	105814323,4
4807,09	4,062	23108114	1,11	5,34	19526,4	93865160,16
4046,02	3,85	16370278	0,66	2,68	15577,18	63025569,69
4683,93	4,037	21939200	1,03	4,81	18909,03	88568551,39
4872,42	4,08	23740477	1,16	5,64	19879,47	96861144,76
4003,22	3,9	16025770	0,64	2,57	15612,56	62500504,44
4628,01	4,03	21418477	0,99	4,59	18650,88	86316460,54
4293,44	3,96	18433627	079	3,40	17002,02	72997163,05
5035,7	4,109	25358274	1,28	6,43	20691,69	104197149,9
Итого 71603,42	60,899	3,45	1,67	8,16	291353,0	1404991466,0

Решив систему уравнений известными методами (методом Крамера, методом Гаусса, методом обратной матрицы) или с помощью MAthCAD, получим следующее решение: ; ; , а уравнение регрессии примет вид

       .                    

На рисунке представлена диаграмма рассеяния случайных величин X и Y с нанесённой линией регрессии.

Рисунок 4.4 – Диаграмма рассеяния случайных величин X и Y с нанесённой линией регрессии

Оценим качество описания зависимости между величиной временем нахождения поезда на участке (Y) и весом грузового состава (Х) полученным уравнением регрессии с помощью коэффициента детерминации, где

– значение времени нахождения поезда на участке, предсказываемое уравнением регрессии, при среднем весе грузового состава x_i;

час. – среднеарифметическое наблюденных значений времени нахождения поезда на участке.

Таблица 4.6 – Значения времени нахождения поезда на участке

Вес грузового состава, т,	Время нахождения поезда на участке, час.,	Значение, предсказываемое уравнением регрессии
5100,58	4,2	4,105	0,0196	0,00203
4885,41	4,078	4,0619	0,0003	3,9E-06
5416,94	4,23	4,165	0,0289	0,01104
4496,66	4,001	3,9794	0,0035	0,00649
4722,08	4,044	4,028	0,0003	0,00102
5537,91	4,208	4,1869	0,0219	0,01612
5074,01	4,11	4,0998	0,0025	0,00159
4807,09	4,062	4,0458	4E-06	0,0002
4046,02	3,85	3,8761	0,0441	0,03379
4683,93	4,037	4,0199	0,0005	0,0016
4872,42	4,08	4,0593	0,0004	4,6E-07
4003,22	3,9	3,8659	0,0256	0,03766
4628,01	4,03	4,0079	0,0009	0,0027
4293,44	3,96	3,9338	0,01	0,01591
5035,7	4,109	4,0922	0,0024	0,00104
Итого 71603,42	60,899	60,527	0,1609	0,152839

Расчётное значение коэффициента детерминации  указывает на удовлетворительность описания зависимости между величиной веса грузового состава (Х) и времени нахождения поезда на участке (Y), выбранным уравнением регрессии. Проверим, однако, значимость оценки коэффициента детерминации с помощью статистики Фишера.

Проверка значимости . При выполнении процедуры проверки значимости оценки коэффициента детерминации выдвигается нулевая гипотеза о том, что предложенное уравнение регрессии никак не отражает реальную зависимость между с. в., т. е. H₀: R² = 0. Альтернативная гипотеза заключается в том, что выбранная модель зависимости (уравнение регрессии)  в достаточной степени объясняет действительную зависимость между случайными величинами, т. е. H_a: R² > 0.

Для проверки значимости оценки коэффициента детерминации используем статистику

,         

Вывод. Критическое значение статистики Фишера для степеней свободы n₁ = 3 – 1 = 2 и n₂ = 15 – 3 = 12 и уровня значимости a = 0,05 составляет (Приложение Б). Поскольку расчётное значение статистики Фишера больше критического ( ), то вычисленный коэффициент детерминации значимо отличается от нуля, и выбранное уравнение регрессионной зависимости между величинами скорости и временем нахождения поезда на участке.

Например, при весе грузового состава 6500 т можно ожидать в среднем время нахождения поезда на участке  час.