Решение задачи на собственные значения для обыкновенного дифференциального уравнения второго порядка

Постановка задачи (вариант 2C).

№ вар	D[r]	k(r)	q(r)	f(r)	Гран. условие слева	Гран. условие справа
C2	[0, 2]	r2+1	1		u - ограничено

Задача на собственные значения

Вывод разностной схемы для уравнения и граничных условий.

Сводим задачу к алгебраической задаче на собственные значения интегро-интерполяционным методом.

Используем приближённую формулу для вычисления интеграла:

И с помощью формулы центральных разностей получаем:

, т.к. рассматриваем задачу на собственные значения

В итоге получим разностную схему для задачи на собственные значения. 

 Система из n+1 алгебраических уравнений:

Данная система является 3-х диагональной,приведём подобные члены в уравнениях разностной схемы при -ых:

Алгебраическая формулировка обобщённой задачи на собственные значения. Вид коэффициентов матриц

Таким образом мы свели задачу к обобщённой алгебраической задаче на собственные значения

Элементы нижней диагонали матрицы А -  ,

главной диагонали -  ,

верхней диагонали -  ,

Элементы матрицы (главная диагональ) ,

Приведение обобщённой алгебраической задачи на собственные значения к классическому виду. Вид коэффициентов матрицы в классической формулировке

 – классическая задача на собственные значения, но тогда теряется симметричность, так как .Матрица D симметричная и положительно определённая.

Элементы матрицы

Свели обобщённую алгебраическую задачу на собственные значения к классической симметричной задаче.

Элементы нижней диагонали матрицы С -  ,

главной диагонали -  ,

верхней диагонали -  ,

2.5 Аналитическое решение тестовой задачи для k=1 и q=0   

Общее решение данной задачи:

, B=0, т.к. Y₀ подразумевает бесконечные решения при r=0

В итоге решение

Для того чтобы получить теоретические решения, нужно найти точки, где функция Бесселя обращается в 0. Используя функции Бесселя из пакета IMSL, находим их.

Теперь можно вычислить теоретические собственные значения (нас интересуют только 2 наименьших)

А также собственные функции, отвечающие этим собственным значениям:

Результаты работы программы

N
10	--------	--------
20	1.7837996204073276	1.1674045346730511
40	2.1624106449249885	1.5056232893444312
80	2.2319052869761178	2.2429658911080237
160	2.1631975545456816	2.6096842182143165

                           Таблица 4

N
10	--------
20	0.86405345399991074
40	0.89398145549380537
80	0.94269230863915421
160	0.97325868407081595

         Таблица 5

Отсюда мы можем сделать вывод, что порядок аппроксимации первый

K	Ошибка вычисления
1	=0.64695313988588987	------
2	= 0.44369974996947681	1.4580876818848678

Таблица 6

Код программы

Выводы

Была численно решена задача на собственные значения и функции для дифференциального уравнения в цилиндрических координатах, для чего была построена разностная схема. Была проведена тестовая программа для решения задачи.