Операции с нечеткими множествами.

Приведем некоторые из основных операций, которые можно осуществлять над нечетким множествами.

1. Дополнение нечеткого множества А обозначается символом  и определяется следующим образом:

                                           (5.15)

Операция дополнения соответствует логическому отрицанию. Например, если А  - название нечеткого множества, то «не А» понимается как  (см. пример ниже).

2. Объединение нечетких множеств А и В обозначается А+В (или АÈВ) и определяется:

                              (5.16)

Объединение соответствует логической связке «или». Например, если А и В – названия нечетких множеств, то запись «А или В» понимается как А+В.

При определении степени принадлежности элементов u новому нечеткому множеству, выбирают большее  из .

Замечание:следует иметь в виде, что логическая связка Ú в данном контексте означает по определению max (т.е. ); Ù означает min (т.е. ).

3. Пересечение А и В обозначаются АÇВ  и определяется следующим образом:

                                 (5.17)

Пересечение соответствует логической связке «u», т.е.

А иВ=АÇВ                                            (5.18)

При определении степени принадлежности элементов u новому нечеткому множеству, выбирают меньшее из  (см. замечание выше).

4. Произведение А и В обозначается АВ и определяется формулой

                               (5.19)

если                                   (5.20)

Пример 5.5. Если

U=1+2+…+10

A=0.8/3+1/5+0.6/6                                 (5.21)

B=0.7/3+1/4+0.5/6,

То ØА=1/1+1/2+0.2/3+1/4+0.4/6+1/7+1/8+1/9+1/10

А+В=0.8/3+1/4+1/5+0.6/6

АÇВ=0.7/3+0.5/6 (берется min из двух значений m)           (5.22)

АВ=0.56/3+0.3/6

0.4А=0.32/3+0.4/5+0.24/6

5. Декартово произведение нечетких множеств А₁, …, А_n универсальных множеств U₁,…,U_n соответственно обозначается А₁´…´А_n и определяется как нечеткое подмножество множества U₁´…´U_n с функцией принадлежности.

                (5.23)

т.о.           (5.24)

Пример 5.6. Если

U₁=U₂ =3+5+7

A₁=0.5/3+1/5+0.6/7

A₂=1/3+0.6/5, то

A₁´A₂=0.5/3.3+1/5.3+0.6/7.6+0.5/3.5+0.6/5.5+0.6/7.5

Нечеткие отношения.

Нечеткое отношение R: X®Y представляет собой нечеткое множество декартова произведения X´Y. R следующим образом описывается с помощью функции принадлежности двух переменных:

                                 (5.25)

Нечетким отношением на множестве X´Y называется совокупность пар 

                             (5.26)

где  - функция принадлежности нечеткого отношения R, имеющая тот же смысл, что и функция принадлежности нечеткого множества.

Вообще n- арное отношение есть нечеткое подмножество декартова произведения X₁´X₂´…´X_n, причем

                    (5.27)

Примеры нечетких отношений:

«X примерно равен Y»,

«X значительно больше Y»,

«А существенно предпочтительнее В».

Пример 5.7. Предположим, что X={Юрий, Сергей}, Y={Максим, Михаил}.

Тогда бинарное нечеткое отношение «сходства» между элементами множеств X и Y можно записать в виде

сходство=0.8/(Юрий,Максим)+0.6/(Юрий,Михаил)+0.2/(Сергей,Максим)+0.9/(Сергей, Михаил).

Помимо этого, данное отношение можно представить в виде матрицы отношений.

                                 (5.28)

В которой (i,j)-й элемент равен значению функции  для i-го значения x и j-го значения y.

Если R – отношение X®Y (или, что то же самое, отношение в X´Y), а S – отношение Y®Z, то композицией R и S является нечеткое отношение X®Z, обозначаемое R° S и определяемое формулой

                      (5.29)

где ° - знак композиции, знаки Ú и Ù обозначают соответственно max и min, V_y – верхняя грань по области значений у.

Здесь (5.29) является композицией отношений.

Выражение (5.29) определяет максминное произведение R и S.

Так, для действительных чисел а и b:

                          (5.30)

                       (5.31)

Если X,Y,Z – конечные множества, то матрица отношения R° S есть максминное произведение матриц отношений R и S. В максминном произведении матриц вместо операции сложения и умножения используются операции Ú и Ù соответственно.

Пример максминного произведения

                         (5.32)

Здесь количество строк должно равняться количеству столбцов. Строка умножается на столбец и берется максимальное значение из минимальных значений пар.