Процесс экономико-математического моделирования.

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ

Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования

«Донецкий национальный технический университет»

Кафедра разработки месторождений полезных ископаемых

Стрельников В.И.

Экономико-математическое моделирование и оптимизация технологических процессов в шахтах

(конспект лекций)

Донецк, 2017

УДК 622.

Экономико-математическое моделирование и оптимизация технологических процессов в шахтах, конспект лекций, Донецк, 2017, - Стрельников В.И. - 152 с.

Рецензенты:

               Доцент кафедры РМПИ               Подтыкалов А.С.

               Доцент кафедры

               управления производством          Скаженик В.Б.

Конспект лекций по курсу, изложены принципы разработки экономико-математических моделей по видам горных работ (проведение и поддержание выработок, транспорт и очистные работы), модель выбора и анализа системы разработки тонкого и средней мощности пологого пласта.  Приложением к тексту являются 13 компьютерных программ в среде Microsoft Excel.

Предназначен для студентов специальности «Подземная разработка и эксплуатация месторождений полезных ископаемых.

                                             Рекомендовано кафедрой РМПИ

                                              Протокол № 11 от 16.05.2017 г.

© 2016 Стрельников В.И.

Введение

Под моделью принято понимать систему, способную замещать оригинал так, что ее изучение дает новую информацию об оригинале.

    Модель должна частично или полностью воспроизводить структуру моделируемой системы, ее функции.

    Модель есть абстрактное представление реальности в какой-либо форме (например, в математической, физической, символической, графической), которое отображает принцип функционирования, определенные особенности объекта исследования.

    Под моделированием понимается процесс построения и исследования модели, способной заменить реальную систему и дать о ней новую информацию.

    Термином моделирование обозначают как построение (создание) моделей, так и их исследование.

     Все существующие модели могут быть условно разделены на два класса - модели материальные, т.е. объективно существующие (которые можно "потрогать руками"), и модели абстрактные, существующие в сознании человека.

    Примером материальных моделей при изучении технологии разработки месторождений полезных ископаемых являются модели из эквивалентных материалов. Эти модели в определенном масштабе воспроизводят горный массив и позволяют исследовать его состояние при имитации в модели проведения горных выработок. Наглядность, возможность с определенной точностью воспроизвести поведение реального горного массива является существенным достоинством такой модели. Однако, каждая такая модель позволяет моделировать состояние горного массива только в определенных условиях (мощность пласта, состав и свойства пород, угол залегания пластов и т.д.). Для  каждого нового сочетания исходных параметров необходимо изготовить новую модель, что весьма трудоемко.

    Одним из подклассов абстрактных моделей являются модели математические.

Математическая модель - это система математических соотношений, которые описывают исследуемый процесс или явление. В горном деле математическое моделирование широко применяется при исследованиях напряженного состояния отдельных элементов горного массива при ведении горных работ.

    Математические модели в экономике принято называть экономико-математическими. Экономико-математическая модель всегда является не точной копией, а некоторой схемой, абстракцией экономического процесса.

    Выделяют следующие основные этапы построения математической модели:

· Определение цели, т.e. чего хотят добиться, решая поставленную задачу.

· Определение постоянных пapaметров модели, т.е. заранее известных фиксированных факторов, на значения которых исследователь не влияет.

· Формирование переменных (управляющих) параметров, изменяя значение которых можно приближаться к поставленной цели. Значения управляющих переменных являются решениями задачи.

·  Определение области ограничений, которым должны удовлетворять управляющие переменные.

· Выражение цели через управляющие переменные и постоянные параметры, т.e. формирование целевой функции, называемой также критерием эффективности или критерием оптимальности задачи.

   Необходимым условием для изучения курса «Экономико-математическое моделирование и оптимизация технологических процессов в шахтах» является успешное освоение курсов «Проведение и крепление горных выработок», «Вскрытие и подготовка», «Процессы очистных работ при подземной разработке пластовых месторождений полезных ископаемых», «Системы разработки пластовых месторождений полезных ископаемых», «Ремонт и погашение горных выработок», «Транспортные системы горных предприятий», «Проектирование шахт». Необходимым условием является также владение студентом навыками использования персонального компьютера и, в частности, умение работать в среде Microsoft Excel.

    В процессе изучения указанных курсов студент выполнял многочисленные расчеты параметров горных работ – нагрузка на лаву, высота ступени, размеры панели и др. с использованием нормативных и стоимостных параметров. Расчеты выполнялись для конкретных природных условий и, как правило, носили только проектный характер.         

    При изучении курса «Проектирование горных предприятий» студент уже сталкивался с понятием «экономико-математическая модель». Рассматриваемые в этом курсе экономико-математические модели в качестве независимых переменных использовали величину затрат на проведение, поддержание и транспорт единицы горных работ, что само по себе уже есть производные от параметров горных работ, таких как сечение выработки, способ охраны и место расположения выработки, цены на оборудование и материалы, тарифы. Это «застывшие» модели.

    Цель данного курса – обучить будущего горного инженера приемам и навыкам экономико-математического моделирования и использования программных комплексов при проектировании технологии разработки пластовых месторождений и исследовании влияния природных, технических и экономических факторов на параметры технологических схем системы угледобычи.

    Основой изучения курса является работа студента в компьютерном классе под руководством преподавателя. Студент должен владеть элементарными навыками работы в пакете Microsoft Excel. Cтуденты-заочники получают доступ к компьютерным программам на сайте кафедры РМПИ. Приложением к тексту учебного пособия являются компьютерные программы  uklon.xls, hodok.xls, lenta,xls, magistral.xls, pech.xls, prohodka.xls, obyem.xls, ohrana.xls, repar_ein.xls, SREK-513.xls, och_zaboy.xls, LAVA.xls, kosten.xls и др.

Процесс экономико-математического моделирования.

Этот процесс состоит из нескольких взаимосвязанных этапов. Разбиение на этапы и выделение на каждом этапе присущих ему процессов условно: на одном из выделенных этапов возможно совмещение процессов, относящихся к разным этапам.

Первый этап - постановка задачи.

Данный этап начинается с выработки цели исследования. В данном учебном курсе целью моделирования и исследования моделей является минимизация затрат на проведение горных выработок, ремонт горных выработок, транспорт угля и вспомогательный транспорт по горным выработкам, сооружение средств охраны выработок. Две последние из указанных целей моделирования имеют задачу выбора экономически наивыгоднейшего, из технически возможных, варианта транспорта по горным выработкам и варианта охраны выработок. Целью моделирования и исследования является также выбор оптимального варианта системы разработки и отдельных ее элементов в конкретных условиях.

    И так, чтобы начать моделирование, необходимо предварительно детально рассмотреть предмет моделирования. Если, например, речь идет о моделировании затрат на проведение выработки, необходимо детально разобраться с технологией проведения выработки – механизация отбойки и погрузки породы, способы и средства крепления, паспорт крепления, настилка пути и т.д. Необходимо владеть знаниями об определении объемов работ, норм выработки, трудоемкости, прямой оплате труда и доплатах, начислениях на зарплату, расходу материалов и энергии, принципа расчета амортизации оборудования.

В процессе постановки задачи необходимо помнить, что модель должна, во-первых, правильно воспроизводить действительность, во-вторых, быть доступной для исследования. Эти два обстоятельства оказывают существенное влияние на выбор исходных предпосылок. При моделировании экономических систем, исходя из цели исследования, с одной стороны, необходимо выбрать самые важные в условиях данной задачи факторы и ввести в модель только те, которые самым существенным образом влияют на результат решения, на достижение поставленной цели. Учет в модели несущественных факторов приводит к тому, что модель становится сложной для понимания моделируемой системы и для решения. С другой стороны, игнорирование многих факторов может привести к чрезмерному упрощению модели, нарушению соответствия ее действительности.

Второй этап – разработка компьютерной программы.

На этом этапе проводится формализация задачи - построение математических зависимостей в виде уравнений, неравенств, функций и т.п.

В данном курсе экономико-математическое моделирование проводится в среде Microsoft Excel. Для удобства пользования моделью, программа вычислений составляется в двух столбцах excel-таблицы – в одном столбце (желательно столбец А) указываются имена переменных и результатов вычислений, в другом (желательно столбец В) в соответствующих ячейках проводятся вычисления.  Большинство задач, решаемых в данном учебном курсе, включает в себя вычисление затрат по отдельным процессам горного производства, т.е. калькуляция затрат. В последнее время это получило название «калькуляционное моделирование».

    Структурно компьютерная программа состоит из трех блоков:

1. блок исходных данных;

2. блок вычислений;

3. блок справочно-информационного материала.

При разработке экономико-математических моделей в горном деле для вычисления трудоемкости работ по процессам используются таблицы норм выработки [1,2,3]. В программах это «справочно-информационный материал», он помещается в конце программы. Таким же материалом, весьма необходимым для вычисления объемов ремонтных работ, являются таблицы и диаграммы смещений пород, составленные ВНИМИ [4]. Таблицы так же приводятся в программе, диаграммы желательно или переводить в таблицы, или аппроксимировать математическими зависимостями.

    Третий этап - получение конкретного решения с помощью составленной программы и преобразование программы в модель.

На данном этапе решающим является сбор и обработка необходимой достоверной исходной информации, определение числовых значений постоянных параметров и переменных. Если задача решается для условий конкретного предприятия, важно иметь точную информацию о применяемом оборудовании, ценах на оборудование и материалы, тарифов на оплату труда и энергию. Эти данные вводятся в программу в раздел «исходные данные». При разработке программы важно помнить, что в исходные данные должны вноситься все величины, которые могут быть неоднозначны, т.е. при вычислении можно использовать как постоянные, фиксировано введенные значения, только те, которые не могут быть другими (например, вычисляя расход рельсов при определении стоимости выработки, мы имеем право ввести число рельсов в одной колее равным 2, так как по другому быть не может. Но число рельсовых путей в выработке может быть и 2 и 3!).

    Формализованную с помощью математического аппарата запись экономической задачи называют моделью задачи. Для перевода программы, составленной в столбце В, в компьютерную модель программу «протягивают» на 5 – 6 столбцов вправо – до столбца G. Далее следует этап отладки программы.

Если в программу как исходные данные были заданы числовые величины, возможны случаи, когда EXCEL автоматически увеличивает эти значения на 1 при «протягивании» программы. При отладке эти изменения необходимо устранить.

Если в программе использовались ссылки на имеющиеся в программе таблицы с помощью функции «=индекс(«массив»;номер строки; номер столбца)» , то при «протягивании» программы от столбца В уже в столбце С результат вычислений будет отличаться, несмотря на одни и те же исходные данные. Это свидетельствует о том, что в столбце С программа ссылается уже на иной «массив». Для исключения такого явления необходимо в программе столбца В ссылку на «массив» зафиксировать. Это выполняется с использование клавиши F4. Ниже показан пример такого действия.

Предположим, массив данных находится в программе в ячейках от А23 до Е30, номер строки в ячейке В5, номер столбца – в ячейке В104 и запись в вычисляемой ячейке выгладит:

              =ИНДЕКС(A23:E30;В5;В104) - неверно

              =ИНДЕКС($A$23:$E$30;В5;В104) – верно.

Таким образом, этот этап заканчивает составление модели, при этом в ячейках результата во всех столбцах имеем одно и то же значение.

Четвертый этап – исследование влияния на конечный результат количественно изменяющихся переменных и переменных, которые изменяются только качественно.

    При разработке модели важно определить диапазон изменения переменных, которые изменяются количественно. Эти данные желательно отразить в модели, например в столбце H блока исходных данных. Диапазон изменения переменных должен соответствовать как диапазону изменения реальных природных условий, так и уровню цен и тарифов. В столбце I желательно указать значение этой переменной, наиболее часто встречающееся в практике. Это так называемое «среднее» значение. «Среднее» значение принимается и для переменных, которые могут изменяться только качественно (например – выработка проводится с помощью комбайна –первое качество, или с БВР – вторе качество).

    При исследовании первоначально все исходные данные в модели устанавливаются на уровне «средних» значений и результатом расчетов является «среднее» значение искомой функции.

    Составленная таким образом экономико-математическая модель готова к ее использованию, т.е. изменяя значение одного из влияющих факторов можно вычислить значение искомой величины при изменении этого фактора в заданном диапазоне. Пакет Excel позволяет построить график такого влияния или получить уравнение тренда. Если функция исследуется на экстремум или необходимо найти величину влияющего фактора, при которой значение функции равно нулю или другой задаваемой величине, Excel позволяет сделать это («сервис» - «поиск решения» и т.д.).

    Такая модель называется компьютерной экономико-математической моделью. Ею можно пользоваться только с помощью компьютера.

    Экономико-математическая модель может быть представлена и в виде системы математических выражений (формул), вычисления по которым можно производить без компьютера, но получить графики влияния в этом случае можно только после многократных вычислений. Для получения такой формализованной модели необходимо вначале иметь компьютерную модель, произвести определенное количество вычислений искомой функции при изменении последовательно каждой переменной в заданном диапазоне и методом регрессии получить уравнение. Следует иметь в виду, что точность вычислений результата при использовании формализованной модели не будет высокой,  если количество влияющих факторов более 10 (в практике экономико-математического моделирования в горном деле количество таких факторов исчисляется десятками).

    Существенно большую точность позволяет получить математическое выражение, имеющее вид

где n – общее количество переменных (как количественных, так и качественных), оказывающих влияние на результат;

y^ср  - значение искомой функции при одновременно всех «средних» значениях каждого влияющего фактора;

μ_i  - математическое выражение или константа, учитывающее степень влияния каждого из n факторов на конечный результат.

(с использованием этого метода рассчитаны стоимости отдельных видов горных работ, т.н. стоимостные параметры [5]). Такой метод назовем «метод средних».

Вопросы для самоконтроля

1. Назовите основные этапы экономико-математического моделирования и их сущность.

2. Какими блоками представлена компьютерная программа при моделировании?

3. В чем состоит сущность отладки программы при преобразовании ее в модель?

4. Виды экономико-математической модели, их сущность, достоинства и недостатки.