Примеры для самостоятельного решения

Построить графики следующих оригиналов

1) ; 2) ; 3) ; 4)

Ответы:

1)	2)
3)	4)

     Вопросы для самопроверки

1. Дайте определение функции Хевисайда

2. Дайте определение смещенной функции Хевисайда

Преобразование Лапласа. Изображение оригинала. Основные свойства изображения.

Определение.  Изображением функции - оригинала  называется функция  комплексной переменной , определяемая формулой .

 Интеграл в правой части равенства называется интегралом Лапласа.

Определение.Преобразование, ставящее в соответствие оригиналу  его изображение называют преобразованием Лапласа.

Теорема. Для всякого оригинала существует изображение , определённое в полуплоскости , где — показатель роста , причём связь  между и  является взаимно – однозначной.

Соответствие изображения  оригиналу  можно обозначать следующим образом: , а соответствие оригинала  изображению  таким образом: .

Пример 1. Найти изображение функции Хэвисайда :

Таким образом , если .

Перечислим основные свойства преобразования Лапласа.

Свойство линейности.

Если , а , то при любых

.

 Свойство затухания.

Если , то .

 Свойство подобия.

Если , то  для любого .

С помощью основных свойств  преобразования Лапласа и найденного ранее изображения функции , получим изображения следующих оригиналов : , , , , , , , , , которые затем поместим в таблицу.

Найдем изображение константы с.

.

Далее воспользуемся формулами Эйлера, чтобы найти изображение остальных функций:

,	,
,	;

 Используя свойства затухания и линейности получаем :

;

;

;

.

Применяя свойство затухания, получаем:

;

;

;

.

Примеры 1-4.Найти изображение следующих оригиналов

1) ;

2) ;

3) ;

4)

Решение.

Сначала оригиналы приводим к табличному виду, а затем находим их изображения:

1)

2)

3)

4)

Вопросы для самопроверки

1. Дайте определение изображения

2. Сформулируйте теорему линейности

3. Сформулируйте теорему подобия

4. Сформулируйте теорему затухания

Примеры для самостоятельного решения.

Найти изображения следующих оригиналов:

1) ;	2) ;	3) ;	4)
Ответы: 1) ;		2) ;	3)
4)

Применение теоремы запаздывания для нахождения изображений запаздывающих процессов.

Теорема.Если .

Т.о., запаздывание оригинала на время  соответствует умножению изображения на .

Примеры 1-4. Построить графики и найти изображения следующих оригиналов: 1)

Решение.

 Так как , то ;

2)

Решение.

3)

Решение. Так как , то ;

4)

Решение.

Т.к.
;

Чтобы воспользоваться теоремой запаздывания нужно преобразовать оригинал к удобному для получения изображения виду, т.е.

;

5)

Вопросы для самопроверки

1. Сформулируйте  теорему запаздывания.

Примеры 1-4 для самостоятельного решения.

Построить графики и найти изображения следующих оригиналов:

1) ;	2) ;	3) ;
4)

1)

2)

3)	4)

Изображение кусочно - непрерывных функций.

Примеры. Построить график оригинала, записать его одним аналитическим выражением, найти изображение.

1)

Решение.

;

2)

Решение:

Приведём оригинал к виду, удобному для получения изображения.

Применяя свойства линейности и теорему запаздывания , получаем

;

3)

Решение:

Приведём оригинал к виду, удобному для получения изображения

.