Ряды с неотрицательными членами

Рядом с неотрицательными членами называется ряд , где .

Для исследования на сходимость таких рядов используют признаки сходимости рядов с неотрицательными членами.

2.1. Признаки сходимости рядов с неотрицательными членами

Признаки сравнения.

Пусть даны два ряда с неотрицательными членами  и , где , , тогда справедливы следующие признаки сравнения:

I. если выполняется неравенство  при всех , то из сходимости большего ряда  следует сходимость меньшего ряда , а из расходимости меньшего ряда  следует расходимость большего ряда .

Пример. Исследуем на сходимость ряд . Для всех  выполняется неравенство . Следовательно, из расходимости гармонического ряда следует расходимость исходного ряда.

Аналогично можно показать, что любой ряд вида

                                                                                                 (14)

при  расходится. Ряд (14) называется обобщённым гармоническим рядом.

II. Если существует предел отношения общих членов рядов  и  ( ), не равный нулю и конечный, то ряды  и  ведут себя одинаково в смысле сходимости, то есть сходятся или расходятся одновременно.

Пример. Исследуем на сходимость ряд .

Сравним его с рядом , который сходится (см. пример на стр. 18). Предел отношения общих членов этих рядов равен . Следовательно, исходный ряд, так же как и ряд , сходится.

III. Если выполняется неравенство  при всех , то из сходимости ряда  следует сходимость ряда , а из расходимости ряда  следует расходимость ряда .

Признак Коши.

Пусть для ряда , где  существует предел , тогда

а) если , ряд  сходится,

б) если , ряд  расходится,

в) если , теорема не даёт ответа на вопрос о сходимости, и нужно использовать другие признаки.

Пример. Исследуем сходимость ряда .

. Ряд сходится.

Очевидно, что признак Коши целесообразно применять в случае, когда общий член ряда является -ой степенью некоторого выражения.

Признак Даламбера.

Пусть для ряда , где , существует предел отношения -го члена к -ому, то есть , тогда

а) если , ряд  сходится,

б) если , ряд  расходится,

в) если , теорема не даёт ответа на вопрос о сходимости, и нужно использовать другие признаки.

Пример. Исследуем сходимость ряда .

Для заданного ряда , ,  и ряд сходится.

Интегральный признак Коши.

Пусть члены ряда  положительны и убывают, то есть  и  – непрерывная положительная убывающая функция, определённая при , такая, что , …, , тогда несобственный интеграл  и ряд  ведут себя одинаково в смысле сходимости, то есть сходятся или расходятся одновременно.

Пример. Исследуем сходимость обобщённого гармонического ряда  при .

Функция  удовлетворяет условиям интегрального признака Коши. Рассмотрим несобственный интеграл

.

При  последний предел равен числу . Следовательно, обобщённый гармонический ряд  при  так же, как и несобственный интеграл , сходится.

Интегральный признак Коши целесообразно использовать в случае, когда общий член ряда интегрируем.

Знакочередующиеся ряды

Определение 13.Ряд называется знакочередующимся, если он имеет бесконечное число как положительных, так и отрицательных членов, причём они в ряде чередуются:

(15)

Например,  – знакочередующийся ряд.

Справедлива следующая теорема: