Какой долей счета торговать?

Когда вы начинаете торговлю, то должны принять два решения: какую позицию открыть, длинную или короткую, и каким количеством торговать. Решение о ко­личестве всегда зависит от баланса на вашем счете. При счете в 10 000 долларов приобретение 100 контрактов на золото будет слишком рискованным. Если на вашем счету 10 миллионов долларов, разве не очевидно, что приобретение одного контракта на золото почти никак не отразится на счете? Признаем мы это или нет, решение относительно того, каким количеством контрактов в определенный момент времени торговать, зависит от уровня баланса на счете. Если мы будем использовать определенную долю счета в каждой сделке (дру­гими словами, когда будем торговать количеством, соотносимым с размером на­шего счета), то добьемся более быстрого прироста капитала. Количество зависит не только от баланса на нашем счете, а является также функцией некоторых других переменных: нашего предполагаемого убытка наи­худшего случая в следующей сделке; скорости, с которой мы хотим, чтобы рос наш счет; зависимости от прошлых сделок. Доля счета, которую следует исполь­зовать для торговли, будет зависеть от многих переменных, и мы попытаемся со­брать все эти переменные, включая уровень баланса счета, чтобы в итоге принять достаточно субъективное решение относительно того, сколькими контрактами или акциями торговать. Из этой главы вы узнаете, как принимать математически верные решения в отношении количества и не основывать свои действия на субъективном и, воз­можно, ошибочном суждении. Вы увидите, что если использовать неправильное количество, то придется заплатить чрезмерную цену, и эта цена возрастет с тече­нием времени. Большинство трейдеров не уделяет должного внимания проблеме выбора ко­личества. Они считают, что этот выбор в значительной мере случаен, и не имеет значения, какое количество использовать, важно только то, насколько они правы в отношении направления торговли. Более того, возникает ошибочное впечатле­ние, что существует прямая зависимость между тем, сколько контрактов откры­вать, и тем, сколько можно выиграть или проиграть с течением времени. Это неверно. Как мы увидим, отношение между потенциальным выигрышем и количеством не выражается прямой линией. Это кривая. У этой кривой есть пик, и именно на этом пике мы достигнем максимального потенциального выиг­рыша. Из этой книги вы узнаете, что решение о количестве, используемом в оп­ределенной сделке, также важно, как и решение о длинной или короткой пози­ции. Мы опровергнем ложное мнение большинства трейдеров и покажем, что уровень счета зависит от правильного выбора количества контрактов не в мень­шей степени, чем от правильного направления торговли. Не вы управляете цена­ми, и не от вас зависит, будет следующая сделка прибыльной или убыточной. Однако количество контрактов, которые вы открываете, зависит только от вас. Поэтому ваши ресурсы будут использованы с большей отдачей, если сконцентрироваться на верном количестве. При любой сделке вы хотя бы приблизительно предполагаете, каким может быть убыток наихудшего случая. Можно даже не осознавать этого, но, когда вы начинаете торговлю, у вас есть ощущение, пусть даже подсознательное, что мо­жет произойти в худшем случае. Восприятие худшего случая вместе с уровнем баланса на вашем счете формирует решение о том, сколькими контрактами торговать.

Таким образом, мы можем сказать, что существует некий делитель (число между 0 и 1) наибольшего предполагаемого убытка для определения количества контрактов. Например, если при счете в 50 000 долларов вы ожидаете, в худшем случае, убыток 5000 долларов на контракт, и открыто 5 контрактов, то делителем будет 0,5, так как:

50 000/(5000/0,5) =5

Другими словами, у вас есть 5 контрактов на счет в 50 000 долларов, т. е. 1 кон­тракт на каждые 10000 долларов баланса. Вы ожидаете в худшем случае потерять 5000 долларов на контракт, таким образом, вашим делителем будет 0,5. Если бы у вас был один контракт, то делителем в этом случае было бы число 0,1, так как:

50 000/(5000/0,1)=1

Этот делитель мы назовем переменной f. Таким образом, сознательно или подсоз­нательно при любой сделке вы выбираете значение f, когда решаете, сколько кон­трактов или акций приобрести.

Теперь посмотрите на рисунок 1-1. На нем представлена игра, где у вас 50% шансов выиграть 2 доллара против 50% шансов потерять 1 доллар в каждой игре. Отметьте, что здесь оптимальное f составляет 0,25, когда TWR составляет 10,55 после 40 ставок (20 последовательностей +2, -1). TWR — это «относитель­ный конечный капитал» (Terminal Wealth Relative), он представляет доход по ва­шим ставкам в виде множителя. TWR = 10,55 означает, что вы увеличили бы в 10,55 раз ваш первоначальный счет, или получили бы 955% прибыли. Теперь посмотрите, что произойдет, если вы отклонитесь всего лишь на 0,15 от опти­мального f= 0,25. Когда f равно 0,1 или 0,4, ваш TWR = 4,66. Это не составляет даже половины того, что будет при 0,25, причем вы отошли только на 0,15 от оп­тимального значения и сделали только 40 ставок!

О какой сумме в долларах мы говорим? При f = 0,1 вы ставите 1 доллар на каж­дые 10 долларов на счете. При f= 0,4 вы ставите 1 доллар на каждые 2,50 долларов на счете. В обоих случаях мы получаем TWR = 4,66. При f= 0,25 вы ставите 1 дол­лар на каждые 4 доллара на счете. Отметьте, что если вы ставите 1 доллар на каж­дые 4 доллара на счете, то выигрываете в два раза больше после 40 ставок, чем в случае ставки одного доллара на каждые 2,50 доллара на вашем счете! Очевидно, что не стоит излишне увеличивать ставку. При ставке 1 доллар на каждые 2,50 доллара вы получите тот же результат, что и в случае ставки четверти этой суммы, то есть 1 доллар на каждые 10 долларов на вашем счете! Отметьте, что в игре 50/50, где вы выигрываете вдвое больше, чем проигрываете, при f= 0,5 вы только «оста­етесь при своих»! При f больше 0,5 вы проигрываете в этой игре, и теперь оконча­тельное разорение — это просто вопрос времени! Другими словами, если f (в игре 50/50, 2:1) на 0,25 отклоняется от оптимального, вы будете банкротом с вероят­ностью, которая приближается к определенности, если продолжать играть доста­точно долго. Таким образом, нашей целью будет объективный поиск пика кривой f для данной торговой системы.

0,05 0,15 0,25 0,35 0,45 0,55 0,65 0,75 значения f

Рисунок 1-1 20 последовательностей +2, -1

В этой книге определенные концепции освещаются с позиции азартных игр. Основное отличие азартной игры от спекуляции заключается в том, что азар­тная игра создает риск (и отсюда многие настроены против нее), в то время как спекуляция является переходом уже существующего риска (предположи­тельного) от одной стороны к другой. Иллюстрации азартных игр использу­ются для наглядного примера излагаемых концепций. Математика управления капиталом и принципы, используемые в торговле и азартных играх, доволь­но похожи. Основная разница состоит в том, что в математике азартных игр мы обычно имеем дело с бернуллиевыми результатами (только два возмож­ных исхода), в то время как в торговле мы сталкиваемся со всем распределе­нием результатов, которые только могут быть в реальной сделке.

Основные концепции

Вероятность задается числом от 0 и 1, которое определяет, насколько вероятен ре­зультат, где 0 — это полное отсутствие вероятности происхождения определенного события, а 1 означает, что рассматриваемое событие определенно произойдет. Про­цесс независимых испытаний (отбор с замещением) является последовательностью результатов, где значение вероятности постоянно от одного события к другому Бросок монеты является примером такого процесса. Каждый бросок имеет вероят­ность 50/50 независимо от результата предыдущего броска. Даже если последние 5 раз выпадал орел, вероятность того, что при следующем броске выпадет орел, все равно не изменяется и составляет 0,5.

Другой тип случайного процесса характеризуется тем, что результат предыду­щих событий влияет на значение вероятности, и, таким образом, значение веро­ятности непостоянно от одного события к другому Эти виды событий называют­ся процессами зависимых испытаний (отбор без замещения). Игра «21 очко» являет­ся примером такого процесса. После того как вытаскивают карту, состав колоды изменяется. Допустим, что новая колода перемешивается и одна карта удалена, скажем, бубновый туз. До удаления этой карты вероятность вытянуть туза была 4/52, или 0,07692307692. Теперь, когда туза вытащили из колоды и не вернули об­ратно, вероятность вытянуть туза при следующем ходе составляет 3/51, или 0,05882352941.

Различие между независимыми и зависимыми испытаниями состоит в том, что вероятность или фиксирована (независимые попытки), или меняется (зависимые попытки) от одного события к другому, в зависимости от предыдущих результатов. Фактически это и есть единственное различие.

Серийный тест

Когда в случае с колодой карт мы проводим отбор без замещения, можно путем проверки определить, существует ли зависимость. Для определенных событий (таких, как поток прибыли и убытков по сделкам), где зависимость не может быть определена путем проверки, мы будем использовать серийный тест. Серий­ный тест подскажет нам, имеет ли наша система больше (или меньше) периодов последовательных выигрышей и проигрышей, чем случайное распределение.

Цель серийного теста — найти счет Z для периодов выигрышей и проигрышей в системной торговлеe. Счет Z означает, на сколько стандартных отклонений вы удалены от среднего значения распределения. Таким образом, счет Z = 2,00 озна­чает, что вы на 2,00 стандартных отклонения удалились от среднего значения (ожидание случайного распределения периодов выигрышей и проигрышей).

Счет Z — это просто число стандартных отклонений, на которое данные отстоят от среднего значения нормального распределения вероятности. Например, счет Z

в 1,00 означает, что данные, которые вы тестируете, отклонены на 1 стандартное отклонение от среднего значения.

Счет Z затем переводится в доверительную границу, которая иногда также на­зывается степенью достоверности. Площадь под кривой нормального распреде­ления вероятности шириной в 1 стандартное отклонение с каждой стороны от среднего значения равна 68% всей площади под этой кривой. Преобразуем счет Z в доверительную границу. Связь счета Z и доверительной границы следующая: счет Z является числом стандартных отклонений от среднего значения, а довери­тельная граница является долей площади под кривой, заполненной при таком числе стандартных отклонений.

При минимальном количестве 30 закрытых сделок мы можем рассчитать счет Z. Попытаемся узнать, сколько периодов выигрышей (проигрышей) можно ожи­дать от данной системы? Соответствуют ли периоды выигрыша (проигрыша) тес­тируемой системы ожидаемым? Если нет, существует ли достаточно высокая до­верительная граница, чтобы допустить, что между сделками существует зависи­мость, т.е. зависит ли результат текущей сделки от результата предыдущих сделок? Ниже приведено уравнение серийного теста. Счет Z для торговой системы равен:

(1.01) Z=(N*(R-0,5)-Х)/((Х*(Х-N))/(N-1))^(1/2), где

N = общее число сделок в последовательности;

R = общее число серий выигрышных или проигрышных сделок;

X=2*W*L;

W = общее число выигрышных сделок в последовательности;

L = общее число проигрышных сделок в последовательности.

Этот расчет можно провести следующим образом:

1. Возьмите данные по вашим сделкам:

A) Общее число сделок, т.е. N.

Б) Общее число выигрышных сделок и общее число проигрышных сделок.

Теперь рассчитайте X.

 Х = 2 * (Общее число выигрышей) * (Общее число проигрышей).

B) Общее число серий в последовательности, т.е. R.

2. Предположим, что произошли следующие сделки:

-3, +2, +7, -4, +1, -1, +1, +6, -1, 0, -2, +1.

Чистая прибыль составляет +7. Общее число сделок 12, поэтому N = 12. Теперь нас интересует не то, насколько велики выигрыши и проигрыши, а то, сколько было выигрышей и проигрышей, а также серий. Поэтому мы можем переделать наш ряд сделок в простую последовательность плюсов и минусов. Отметьте, что сделка с нулевой прибылью считается проигрышем. Таким образом:

- + + - +-++---+

Как видно, последовательность состоит из 6 прибылей и 6 убытков, поэтому X =2 * 6 * 6 = 72. В последовательности есть 8 серий, поэтому R = 8. Мы называ­ем серией каждое изменение символа, которое встречается при чтении последова­тельности слева направо (т.е. хронологически).

1. Последовательность будет выглядеть следующим образом:- + + - +-++---+ т.е. 1 2 3 4 5 6 7 8

2. Вычислите значение выражения:

N*(R-0,5)-X Для нашего примера:

12* (8 -0, 5) -72

12*7,5-72

90 - 72

18

3. Вычислите значение выражения:

(X*(X-N))/(N-1) Для нашего примера:

(72* (72-12))/(12-1)

(72* 60)/11

4320/11

392,727272

4. Возьмите квадратный корень числа, полученного в пункте 3. В нашем примере:

392,727272 ^{^}(1/2) = 19,81734777

5. Разделите ответ из пункта 2 на ответ из пункта 4. Это и есть счет Z. В нашем примере:

18/19,81734777 = 0,9082951063

6. Теперь преобразуйте ваш счет Z в доверительную границу. Распределение периодов является биномиальным распределением. Однако когда рассмат­риваются 30 или больше сделок, мы можем использовать нормальное рас­пределение, как близкое к биномиальному. Таким образом, если вы исполь­зуете 30 или более сделок, вы просто можете преобразовать ваш счет Z в до­верительную границу, основываясь на уравнении (3.22) для нормального распределения.

Серийный тест подскажет вам, содержит ли ваша последовательность выигры­шей и проигрышей больше или меньше полос (серий выигрышей или проигры­шей), чем можно было бы ожидать от действительно случайной последовательно­сти, в которой нет зависимости между испытаниями. Так как в нашем случае мы находимся на уровне относительно низкой доверительной границы, то можно допустить, что между сделками в этой последовательности нет зависимости.

Если счет Z имеет отрицательное значение, то при расчете доверительной гра­ницы просто возьмите его абсолютное значение. Отрицательный счет Z говорит о положительной зависимости, то есть полос меньше, чем при нормальном распре­делении вероятности, и следовательно, выигрыши порождают выигрыши, а про­игрыши порождают проигрыши. Положительный счет Z говорит об отрицатель­ной зависимости, то есть полос больше, чем при нормальном распределении ве­роятности, и следовательно, выигрыши порождают проигрыши, а проигрыши порождают выигрыши.

Какой уровень доверительной границы считать приемлемым? Статистики, как правило, рекомендуют доверительную границу не менее 90%. Некоторые рекомендуют доверительную границу свыше 99%, чтобы быть уверенными, что за­висимость существует, другие рекомендуют менее строгий минимум 95,45% (2 стандартных отклонения).

Очень редко система демонстрирует доверительную границу свыше 95,45%, чаще всего она менее 90%. Даже если вы найдете систему с доверительной гра­ницей от 90 до 95,45, это не будет золотым самородком. Чтобы убедиться в зави­симости, на которой можно хорошо заработать, вам нужно как мини­мум 95,45%. Пока зависимость находится на приемлемой доверительной границе, вы мо­жете изменить систему, чтобы улучшить торговые решения, даже если вы не по­нимаете основной причины зависимости. Если вы узнаете причину, то сможете оценить, когда зависимость действовала, а когда нет, а также когда можно ожи­дать изменение степени зависимости. До настоящего момента мы смотрели на зависимость только с точки зрения того, была ли последняя сделка выигрышем или проигрышем. Теперь мы попыта­емся определить, есть ли в последовательности выигрышей и проигрышей зави­симость или нет. Серийный тест на наличие зависимости автоматически прини­мает в расчет процент выигрышей и проигрышей. Однако серийный тест по пе­риодам выигрышей и проигрышей учитывает последовательность выигрышей и проигрышей, но не их размер. Для того чтобы получить истинную независи­мость, не только сама последовательность выигрышей и проигрышей должна быть независимой, но и размеры выигрышей и проигрышей в последовательнос­ти также должны быть независимыми. Выигрыши и проигрыши могут быть неза­висимыми, однако их размеры могут зависеть от результатов предыдущей сделки (или наоборот). Возможным решением является проведение серийного теста только с выигрышными сделками. При этом полосы выигрышей следует разде­лить на длинные (по сравнению со средним значением распределения вероятнос­ти) и менее длинные. Только затем надо искать зависимость между размером вы­игрышных сделок, после этого необходимо провести ту же процедуру с проиг­рышными сделками.

Корреляция

Есть другой, и, может быть, лучший способ определения зависимости между раз­мерами выигрышей и проигрышей. Этот метод позволяет рассмотреть размеры выигрышей и проигрышей с совершенно другой стороны, и когда он использует­ся вместе с серийным f тестом, то взаимосвязь сделок измеряется с большей глуби­ной. Для количественной оценки зависимости или независимости данный метод использует коэффициент линейной корреляции г, который иногда называют пирсоновским r. Посмотрите на рисунок 1-2. На нем изображены две абсолютно коррелиро­ванные последовательности. Мы называем это положительной корреляцией.

Рисунок 1-2 Положительная корреляция (r =1,00)

Рисунок 1-3 Отрицательная корреляция(r = -1,00)

Теперь посмотрите на рисунок 1-3. Он показывает две последовательности, которые находятся точно в противофазе. Когда одна линия идет вверх, другая следует вниз (и наоборот). Мы называем это отрицательной корреляцией.

Формула для коэффициента линейной корреляции г двух последовательностей Х и Y такова (черта над переменной обозначает среднее арифметическое значение):

Расчет следует производить следующим образом:

1. Вычислите среднее Х и Y (т.е. X и Y )•

2. Для каждого периода найдите разность между Х и средним X, а также Y и средним Y.

3. Теперь рассчитайте числитель. Для этого для каждого периода пере­множьте ответы из шага 2, другими словами, для каждого периода ум­ножьте разность между Х и средним X, на разность между Y и средним Y.

4. Сложите результаты, полученные в шаге 3, за все периоды. Это и есть числитель.

5. Теперь найдите знаменатель. Для этого возьмите результаты шага 2 для каждого периода, как для разностей X, так и для разностей Y, и возве­дите их в квадрат (теперь они будут положительными значениями).

6. Сложите возведенные в квадрат разности Х за все периоды. Проделайте ту же операцию с возведенными в квадрат разностями Y.

7. Извлеките квадратный корень из суммы возведенных в квадрат разно­стей X, которые найдены в шаге 6. Теперь проделайте то же с Y, взяв квадратный корень суммы возведенных в квадрат разностей Y.

8. Умножьте два результата, которые вы нашли в шаге 7, то есть умножьте квад­ратный корень суммы возведенных в квадрат разностей Х на квадратный корень суммы возведенных в квадрат разностей Y. Это и есть знаменатель.

9. Разделите числитель, который вы нашли в шаге 4, на знаменатель, кото­рый вы нашли в шаге 8. Это и будет коэффициент линейной корреляции г.

Значение г всегда будет между +1,00 и -1,00. Значение 0 указывает, что корре­ляции нет.

Теперь посмотрите на рисунок 1-4. Он представляет следующую последова­тельность из 21 сделки:                               

Чтобы понять, есть ли какая-либо зависимость между предыдущей и текущей сделкой, мы можем использовать коэффициент линейной корреляции. Для зна­чений Х в формуле для г возьмем P&L по каждой сделке. Для значений Y в фор­муле для г возьмем ту же самую последовательность P&L, только смещенную на одну сделку. Другими словами, значение Y — это предыдущее значение X. (См. рисунок 1-5.).

Рисунок 1-4 Отдельные результаты 21 сделки

Рисунок 1-5 Отдельные результаты 21 сделки, сдвинутые на 1 сделку

Средние значения различаются, потому что вы усредняете только те Х и Y, кото­рые частично перекрывают друг друга, поэтому последнее значение Y (3) не вносит вклад в среднее Y, а первое значение Х (1) не вносит вклад в среднее X. Числитель является суммой всех значений из столбца Е (0,8). Чтобы найти знаменатель, мы извлечем квадратный корень из итогового значения столбца F, то есть 8,555699, затем извлечем квадратный корень из итогового значения столб­ца G, то есть 8,258329, и перемножим их, что даст в результате 70,65578. Теперь разделим числитель 0,8 на знаменатель 70,65578 и получим 0,011322. Это наш ко­эффициент линейной корреляции г. В данном случае коэффициент линейной корреляции 0,011322 едва ли о чем-то говорит, но для многих торговых систем он может достигать больших значений. Высокая положительная корреляция (по крайней мере, 0,25) говорит о том, что большие выигрыши редко сменяются большими проигрышами, и наоборот. Отрицательные значения коэффициента корреляции (между -0,25 и -0,30) подразумевают, что после больших проигрышей следуют большие выигрыши, и наоборот. Для заданного количества сделок с по­мощью метода, известного как «Трансформация Z Фишера», коэффициент корре­ляции можно преобразовать в доверительный уровень. Эта тема рассматривается в приложении С. Отрицательную корреляцию так же, как и положительную, можно использовать в своих интересах. Например, если обнаружена отрицатель­ная корреляция и система показала большой проигрыш, то в следующей сделке можно ожидать большой выигрыш и таким образом открыть больше контрактов, чем обычно. Если и эта сделка принесет убыток, то он не должен быть очень боль­шим (из-за отрицательной корреляции).

Наконец, при определении зависимости вы должны провести тесты по разным сегментам данных. Для этого разбейте ваши данные на две или более частей. Если вы увидите зависимость в первой части, тогда посмотрите, существует ли эта зави­симость во второй части, и так далее. Это поможет исключить случаи, где появляет­ся кажущаяся зависимость, но фактически ее нет. Использование этих двух инструментов (серийный тест и коэффициент ли­нейной корреляции) поможет ответить на многие вопросы, однако только в том случае, если у вас есть достаточно высокая доверительная граница и/или доста­точно высокий коэффициент корреляции. Большую часть времени эти инстру­менты вряд ли будут вам полезны, так как слишком часто во фьючерсных торговых системах зависимость отсутствует. Если вы получите данные, указывающие на зависимость, то следует обязательно воспользоваться этим обстоятельством в торговле, вернуться и включить новое правило в торговую логику, чтобы ис­пользовать зависимость. Другими словами, вы должны вернуться и изменить ло­гику торговой системы, чтобы она учитывала эту зависимость (минуя определен­ные сделки или разбивая систему на две различные системы, например, одна для сделок после выигрышей и одна для сделок после проигрышей). Таким образом, можно утверждать, что, если в сделках появляется зависимость, вы не максими­зировали систему. Зависимость, если она найдена, надо использовать (для этого измените правила системы), пока она не исчезнет. Первой ступенью в управле­нии деньгами является использование и, следовательно, удаление любой зависимос­ти в сделках. Чтобы узнать о зависимости больше, прочитайте приложение С: «Подробнее о зависимости: разворотные точки и тест длины фазы». Мы рассмотрели зависимость в отношении торговых прибылей и убытков. Можно также поискать зависимость между индикатором и последующей сделкой или между любыми двумя переменными. Чтобы узнать больше об этих концепци­ях, посмотрите приложение В, а именно: раздел «Биномиальное распределение», посвященный статистической оценке торговой системы.