Дифференциальная геометрия и топология

1. Пусть X есть R, а τ состоит из:

    а) пустого множества и всевозможных бесконечных множеств;

    б) пустого множества и дополнений всевозможных конечных множеств.

Является ли в этих случаях набор τ топологией в R.

2. Какие из следующих множеств попарно гомеоморфны:

    (- ;3]; [1;5) ; (-7; 2) и [2, 3]. Рассматривается естественная топология.

3. Пусть А и В – компактные подмножества топологического пространства X. Верно ли, что множество А В компактно? Верно ли, что множество А В компактно ?

4. Найти кривизну кривой   в точке .

5. Найти под каким углом пересекаются линии   на прямом геликоиде

Дифференциальные уравнения

1. Проинтегрировать следующие системы дифференциальных уравнений:

2. Проинтегрировать следующую систему дифференциальных уравнений:

3. Найти решение указанной ниже задачи:

4. Найти решение указанной ниже задачи:

5. Найти решение указанной ниже задачи:

6. Найти решение указанной ниже задачи:

7. Найти решение указанной ниже задачи:

8. Найти решение указанной ниже задачи:

9. Проинтегрировать следующее уравнение:

Уравнения математической физики

1. Решите задачу Коши:

2. Приведите уравнение к каноническому виду:

3. Приведите уравнение к каноническому виду:

4. Решите задачу Коши:

5. Решите задачу Коши:

Теоретическая механика

1. Диск радиуса  катится без скольжения по плоскости. Скорость центра диска  равна 2 м/с. Определить угловую скорость вращения диска.

2. Дифференциальное уравнение колебательного движения материальной точки имеет вид . Определить период затухающих колебаний.

3. Тело массой  падает по вертикали, сила сопротивления воздуха . Определить максимальную скорость падения тела.

Вариационное исчисление

1. Найти экстремаль функционала

.

Методы оптимизации

1. Решить графическим способом

2. Улучшить план  задачи на безусловный минимум

методом наискорейшего спуска (одна итерация).

3.Решить симплекс-методом

Методы вычислений и вычислительный практикум

1. Используя первую интерполяционную формулу Ньютона для равноотстоящих узлов вычислить приближённое значение функции в точке х*.

                   х* = 1,25

2. Вычислить интеграл по обобщенной формуле трапеций, разбив отрезок интегрирования на 4 равные части.

Подинтегральная функция
	0	1

3. Применяя метод Эйлера, решить задачу Коши на отрезке [0,1], разбив его на 4 равные части.