Числовые характеристики дискретных случайных величин

Характеристикой среднего значения случайной величины служит математическое ожидание.

Математическим ожиданием дискретной случайной величины называют сумму произведений всех ее возможных значений на соответствующие им  вероятности:

М(X) = x₁p₁+ x₁p₂+…+ x_np_n.

Характеристиками рассеяния возможных значений случайной величины вокруг математического ожидания являются дисперсия и среднее квадратическое отклонение.

Дисперсией случайной величины X называют математическое ожидание квадрата отклонения случайной величины от ее математического ожидания:

D(X) = M[X – M(X)]².

Дисперсию удобно вычислять по формуле

D(Х) = М(X²) – [М(Х)]².

Средним квадратическим отклонением случайной величины называют квадратный корень из дисперсии:

.

Решение типовых задач

Теоремы сложения и умножения вероятностей

1) В урне 5 белых и 10 черных шаров. Из урны последовательно достают два шара. Найти вероятность того, что:

а) шары будут одинакового цвета (шары возвращают в урну);

б) шары будут разных цветов (шары не возвращают в урну);

в) хотя бы один шар будет черным (шары не возвращают в урну).

Решение

а) Событие A – шары одинакового цвета.

Рассмотрим события:

A₁ = бб – первый шар белый и второй шар белый.

Аналогично:

A₂ = чч – первый шар черный и второй шар черный.

Событие A произойдет, если достанут 2 белых или 2 черных шара:

A = A₁ + A₂.

 – вероятность достать второй раз белый шар не изменилась, так как шар вернули в урну. Аналогично:

По теореме сложения вероятностей для несовместных событий A₁ и A₂:

б) Событие B – шары разных цветов.

Рассмотрим события:

B₁ = бч; B₂ = чб.

Ясно, что B = B₁ + B₂;

 – первый шар в урну не вернули, поэтому вероятность  вычислена при условии, что первым достали белый шар.

в) Событие C – хотя бы один шар черный.

Противоположное событие:

 – оба шара белых: .

 первый шар не вернули в урну, поэтому вероятность  вычислили при условии, что первым достали белый шар.

Ответ: а) ; б) ; в) .

2) В урне 5 белых и 10 черных шаров. Из урны последовательно достают все шары. Найти вероятность того, что:

а) третьим по порядку будет вынут черный шар;

б) из первых трех шаров хотя бы один шар будет черный.

Решение

а) Событие A – третьим по порядку будет черный шар.

Рассмотрим события:

A₁ = ббч – первый шар белый, второй шар белый, третий шар черный.

Аналогично:

A₂ = бчч; A₃ = чбч; A₄ = ччч.

Событие A произойдет, если произойдет любое из событий A₁, A₂, A₃, A₄:

A = A₁ + A₂ + A₃ + A₄.

Так как из урны последовательно достают все шары, то шары в урну не возвращают и при вычислении вероятности события A₁ = ббч рассчитываем условные вероятности того, что второй шар белый (при условии, что первый шар белый) и что третий шар черный (при условии, что первый шар белый и второй шар белый):

Аналогично:

По теореме сложения вероятностей для несовместных событий:

б) Пусть событие B – из первых трех шаров хотя бы один шар будет черным.

Противоположное событие:

 – все три шара белые: .

Ответ: а) ; б) .

3) В урне 5 белых, 10 черных и 5 красных шаров. Три из них вынимают наугад. Найти вероятность того, что по крайней мере два из них будут одноцветными. Шары в урну не возвращают.

Решение

Событие A – по крайней мере два шара одноцветные.

Противоположное событие:

 – все шара разного цвета.

Рассмотрим события:

A₁ = бчк – первый шар белый, второй шар черный, третий шар красный.

Аналогично:

A₂ = бкч; A₃ = чбк; A₄ = чкб; A₅ = кбч; A₆ = кчб.

Событие A произойдет, если произойдет любое из событий A₁, A₂, A₃, A₄, A₅, A₆:

A = A₁ + A₂ + A₃ + A₄ + A₅ + A₆.

Так как шары в урну не возвращают, то при вычислении вероятности события A₁ = бчк рассчитываем условные вероятности того, что второй шар черный (при условии, что первый шар белый) и что третий шар красный (при условии, что первый шар белый и второй шар черный):

Аналогично:

По теореме сложения вероятностей для несовместных событий:

Ответ: