Теоретические сведения и методические указания.

Аппроксимация амплитудно-частотных характеристик аналоговых фильтров

Процедура синтеза электронного фильтра включает два основных этапа. Первым этапом является аппроксимация – процедура получения передаточной функции, с заданной точностью воспроизводящей заданные частотные или временные характеристики. Передаточная функция, найденная на этапе аппроксимации, затем реализуется электрической цепью.

Наиболее распространенными видами передаточных функций, используемых для получения заданных амплитудно-частотных характеристик, являются функции Баттерворта и Чебышева.

Фильтры Баттерворта

Передаточная функция фильтра нижних частот Баттерворта n-го порядка характеризуется выражением

.                                                                                                                      (8.1)

Амплитудно-частотная характеристика фильтра Баттерворта обладает следующими свойствами:

1.При любом порядке n значение АЧХ .

2.На частоте среза .

Рис. 8.1

АЧХ фильтра монотонно убывает с ростом частоты. По этой причине фильтры Баттерворта называют фильтрами с максимально плоскими характеристиками. На рис. 8.1 показаны графики амплитудно-частотных характеристик фильтров Баттерворта 3 и 5 порядков. Очевидно, что чем больше порядок фильтра, тем точнее аппроксимируется АЧХ идеального фильтра нижних частот.

Порядок передаточной функции n выбирают из условия обеспечения требуемого затухания в полосе задерживания на частоте . Модуль передаточной функции в полосе задерживания

.

Порядок передаточной функции определяется приближенной формулой

.                                                                                                  (8.2)

Здесь – частота в полосе задерживания, на которой задана величина затухания. Значение n, полученное с помощью формулы (8.2), округляется до ближайшего целого, большего n.

Пример 8.1. Определить порядок фильтра Баттерворта, у которого значение АЧХ на частоте, равной , не превышает 0.01.

Решение. В соответствии с (8.2) . Округляя до ближайшего большего целого, получаем, что такое ослабление в полосе задерживания обеспечивает фильтр Баттерворта четвертого порядка.

Определяем координаты полюсов фильтра Баттерворта, полагая в (8.1) :

.

Приравняв полином знаменателя нулю, найдем, что полюсы фильтра Баттерворта с частотой среза расположены на окружности единичного радиуса на одинаковом угловом расстоянии друг от друга:

.

Каждая пара комплексных сопряженных полюсов образует множитель

.

Фильтры Чебышева

Квадрат модуля передаточной функции фильтра Чебышева определяется выражением

.                                                                                                              (8.3)

Здесь - полином Чебышева. Модуль передаточной функции фильтра Чебышева равен единице на тех частотах, где обращается в нуль. График амплитудно-частотной характеристики фильтра Чебышева пятого порядка показан на рис. 8.2.

Перечислим свойства частотных характеристик фильтров Чебышева:

1. В полосе пропускания АЧХ имеет равноволновой характер. На интервале имеется n точек, в которых функция достигает максимального значения, равного 1, или минимального значения, равного . Если n нечетно, , если n четно, .

2. Значение АЧХ фильтра Чебышева на частоте среза равно

.

3. При функция монотонно убывает и стремится к нулю.

4. Параметр определяет неравномерность АЧХ фильтра Чебышева в полосе пропускания:

.

Рис. 8.2

Сравнение АЧХ фильтров Баттерворта и Чебышева показывает, что фильтр Чебышева обеспечивает большее ослабление в полосе пропускания, чем фильтр Баттерворта такого же порядка. Недостаток фильтров Чебышева заключается в том, что их фазочастотные характеристики в полосе пропускания значительно отличаются от линейных.

Для фильтров Баттерворта и Чебышева имеются подробные таблицы, в которых приведены координаты полюсов и коэффициенты передаточных функций различных порядков.

8.2. Пассивные LC-фильтры

LC-фильтры были первыми фильтрами, которые использовались в устройствах передачи сигналов.

Пассивный фильтр, реализующий характеристики Баттерворта или Чебышева, представляет лестничную LC-цепь, включенную между резистивным сопротивлением источника сигнала и нагрузкой (рис. 8.3). Элементы фильтра рассчитывают таким образом, чтобы обеспечить передачу максимальной мощности в полосе пропускания.

Рис. 8.3

С помощью лестничной LC-цепи можно реализовать только передаточные функции, нули передачи которых расположены на мнимой оси. Однако это не является серьезным ограничением, так как нули передачи частотно-селективных фильтров, как правило, расположены на мнимой оси, включая начало координат и бесконечность.

В простейшем случае нули передачи находятся в бесконечности. Таким свойством обладают передаточные функции фильтров нижних частот Баттерворта и Чебышева. Продольные ветви LC-цепи содержат индуктивности, а поперечные – емкости. Если нули передачи расположены в начале координат (фильтр верхних частот), то продольные ветви содержат емкостные элементы, а поперечные – индуктивные. Отличие фильтров Баттерворта и Чебышева в этом случае заключается только в разных значениях реактивных элементов, получаемых в процессе расчета. Количество реактивных элементов определяется порядком фильтра n.

Методы синтеза LC-фильтров хорошо разработаны. Существует обширная справочная литература, которая содержит данные о фильтрах различных порядков. Процедура расчета фильтра сводится к выбору типа и порядка фильтра.

Пассивные фильтры устойчивы, не требуют источников питания, имеют низкую чувствительность характеристик к изменениям номиналов элементов. Их основной недостаток при работе на частотах меньше 100 МГц – большие габариты и вес, обусловленные размерами индуктивных катушек.

В настоящее время во многих областях радиоэлектроники LC-фильтры почти вытеснены цифровыми и аналоговыми активнымиRC-фильтрами. Однако пассивные фильтры по-прежнему используются на частотах, превышающих 100 кГц.

Методы проектирования аналоговых фильтров с типовыми амплитудно-частотными характеристиками хорошо разработаны. Имеются многочисленные справочники, в которых приведены подробные таблицы с параметрами фильтров различных порядков. В табл. 8.1 и 8.2 приведены значения элементов нормированных фильтров Баттерворта и Чебышева с частотой среза 1 рад/с.

Таблица 8.1

Значения элементов фильтров Баттерворта

Таблица 8.2

Значения элементов фильтров Чебышева при Амакс = 1 дБ

Частотные преобразования

Как уже отмечалось, существуют многочисленные справочники, в которых приведены параметры фильтров, реализующих передаточные функции различных видов. Обычно это НЧ-структуры с частотой среза 1 рад/с. На практике такие фильтры совершенно бесполезны, так как для того или иного конкретного применения необходимы фильтры различных типов с частотами среза от единиц герц до сотен килогерц. Для получения фильтров с требуемыми характеристиками используют процедуру преобразования частоты. Исходный ФНЧ с частотой среза 1 рад/с является НЧ-прототипом. Частотное преобразование заключается в замене комплексной частотной переменной на новую переменную. С помощью частотных преобразований из нормированного НЧ-прототипа получают фильтры различных типов с требуемой частотой среза. Рассмотрим некоторые из этих преобразований.

Преобразование НЧ–НЧ. Предположим, что нам необходим ФНЧ с частотой среза . Заменим частотную переменную в передаточной функции НЧ-прототипа на новую переменную

.                                                                                                                                            (8.4)

Это равносильно замене катушки, индуктивность которой равна L генри, катушкой индуктивностью генри. Конденсатор емкостью С фарад заменяется конденсатором фарад. Сопротивления элементов денормированного фильтра на частоте будут такими же, как у нормированного фильтра на частоте . Следовательно, преобразование (8.5) приведет к изменению масштаба по оси частот, и частота среза денормированного фильтра станет равна .

Преобразование НЧ–ВЧ. В этом случае преобразование имеет вид:

.

Здесь – частота среза фильтра верхних частот. При таком преобразовании передаточная функция ФНЧ-прототипа преобразуется в передаточную функцию ФВЧ с частотой среза . При этом конденсаторы заменяются катушками, индуктивность которых равна генри. Аналогично катушки заменяются конденсаторами емкостью фарад.

Преобразование НЧ–ПФ. Это частотное преобразование трансформирует ФНЧ с одной полосой задерживания в полосовой фильтр с двумя полосами задерживания (рис. 8.5).

Преобразование ФНЧ-ПФ выполняется по формуле:

.                                                                                                                                 (8.5)

Здесь – центральная частота полосы пропускания; , – нижняя и верхняя частоты среза; – ширина полосы пропускания.

Рис. 8.5

Передаточная функция полосового фильтра, получаемая с помощью преобразования (8.5), имеет вдвое больший порядок, чем передаточная функция НЧ-прототипа. Преобразование можно применить как к передаточной функции, так и к схеме исходного ФНЧ. При этом индуктивная катушка преобразуется в последовательное соединение катушки и конденсатора. Действительно, в соответствии с (8.5)

.

Этому равенству соответствует цепь, образованная последовательным соединением катушки индуктивностью генри и конденсатора емкостью фарад. Аналогично конденсатор в ФНЧ-прототипе преобразуется в параллельную цепь, состоящую из конденсатора емкостью фарад и катушки индуктивностью генри. В последних соотношениях С – емкость конденсатора в схеме НЧ-прототипа.

Нормирование по сопротивлению. В схемах НЧ-прототипа используются резисторы сопротивлением 1 Ом. Ясно, что на практике требуются фильтры с различными сопротивлениями нагрузки и генератора. При нормировании уровня сопротивления номиналы всех элементов схемы изменяют в определенное число раз. Например, если сопротивление нагрузочного резистора увеличивается в А раз, то индуктивности катушек также необходимо увеличить в А раз, а емкости конденсаторов – уменьшить в А раз. При этом частотные характеристики фильтра не изменятся.

8.4. Активные RC-фильтры

Основной недостатокLC-фильтров, работающих в диапазоне частот менее 50 кГц – большие габариты и вес, обусловленные значительными размерами индуктивных катушек на этих частотах.

Этого недостатка лишены активныеRC-фильтры. Такой фильтр содержит резисторы, конденсаторы и активные элементы (как правило, операционные усилители). Активные фильтры широко используют в геофизической, медицинской аппаратуре, устройствах связи. В простых случаях активный фильтр представляет каскадное соединение звеньев второго-первого порядков (рис. 7.6).

Рис. 8.6

Передаточная функция такого фильтра представляет произведение сомножителей второго порядка:

.

Преимущества каскадной реализации заключаются в простоте расчета и настройки фильтра.
Рассмотрим подробнее передаточные функции звеньев второго порядка. В общем случае передаточная функция звена имеет вид

.

Параметры и определяют полюсы передаточной функции:

.

При полюсы комплексно-сопряженные. Параметр называют частотой, а – добротностью реализуемой пары полюсов.

Коэффициенты числителя передаточной функции определяют расположение нулей передачи и соответственно тип передаточной функции. Передаточную функцию фильтра нижних частот получим, предположив :

.

Нули передачи фильтра верхних частот расположены в начале координат, поэтому

.

Передаточная функция полосно-пропускающего фильтра

.

В практике проектирования активных фильтров используется большое число схем, реализующих передаточные функции первого и второго порядков. Простейшими являются схемы на одном ОУ с положительной обратной связью. На рис. 8.7 показан фильтр нижних частот Саллена – Ки. Он назван так по фамилиям инженеров П. Саллена и Э. Ки, предложивших первые практические схемы активных фильтров. Операционный усилитель, резисторы и реализуют неинвертирующий усилитель с коэффициентом усиления .

Передаточная функция фильтра

.Для реализации фильтра верхних частот необходимо поменять местами резисторы , и конденсаторы , . Достоинства фильтра Салле-на – Ки – простота структуры, минимальное число активных элементов. Последнее особенно важно в тех случаях, когда необходимо уменьшить мощность, потребляемую фильтром.

Рис. 8.7

В настоящее время разработаны различные процедуры расчета элементов фильтров Салена – Ки. Приведем один из вариантов, обеспечивающий равенство номиналов элементов. Исходными данными являются частота и добротность полюсов . Расчет проводится в следующем порядке.

1. Выбираем подходящие номиналы конденсаторов .

2. Сопротивления резисторов и определяем по формуле

.

Коэффициент передачи усилителя

.

Пример 8.2. Рассчитать фильтр нижних частот второго порядка, имеющий параметры: частота , добротность полюсов .

Решение. Выбираем . Сопротивления резисторов . Коэффициент усилителя .

Для реализации передаточных функций полосно-пропускающих фильтров с невысокой добротностью полюсов ( ) используют звенья с многопетлевой обратной связью (рис. 8.8).

Рис. 8.8

Передаточная функция фильтра, показанного на рис. 8.8,

.

Расчет элементов схемы проводится в следующем порядке.

1.Выбираем подходящие значения емкостей .

2.Сопротивления резисторов рассчитываем по формулам:

; ; .

В последних соотношениях – коэффициент передачи на частоте . Для упрощения схемы можно исключить резистор , заменив его разрывом. Однако при этом нельзя будет контролировать коэффициент . С помощью звеньев на одном ОУ можно реализовать и передаточные функции второго порядка с нулями передачи на мнимой оси. Однако такие звенья содержат большое число пассивных элементов. В частности, число конденсаторов может достигать трех-четырех. Значительно сложнее и процедуры расчета таких звеньев.

Главным недостатком звеньев на одном ОУ является высокая чувствительность характеристик к изменениям коэффициента усиления активного элемента. Особенно сильно это проявляется при реализации высокодобротных полюсов. В таких случаях используют звенья на нескольких ОУ. Их основные преимущества перед звеньями на одном ОУ заключаются в меньшей чувствительности характеристик, простоте регулировки и настройки. К тому же с точки зрения технологии интегральных схем минимизировать число активных элементов нецелесообразно. Поэтому звенья на нескольких ОУ часто оказываются более предпочтительными.

Универсальное звено на трех ОУ, реализующее одновременно передаточные функции ФНЧ, ФВЧ и ПФ, показано на рис. 8.9. Схема звена содержит два интегратора и сумматор. В зависимости от того, какой узел используется в качестве выходного, можно реализовать одну из трех передаточных функций:

;                                  (8.6а)

;                             (8.6б)

.                                   (8.6в)

Рис. 8.9

Звенья на трех ОУ используют в универсальных модулях, изготавливаемых в виде интегральных схем. Такой модуль включает ОУ, конденсаторы и резисторы. Микросхема содержит внешние выводы для подключения источника питания, источника входного сигнала, а также регулировочных резисторов. С помощью таких резисторов можно регулировать характеристики фильтра (частоту и добротность полюсов ). Модуль позволяет реализовать любую из передаточных функций (7.6).