Частная производная, полный дифференциал ФНП. Связь дифференцируемости функции с существованием частных производных

Для функции одной вещественной переменной после изучения тем «Пределы» и «Непрерывность» (Введение в математический анализ) изучались производные и дифференциалы функции. Перейдем к рассмотрению аналогичных вопросов для функции нескольких переменных. Заметим, что если в ФНП зафиксировать все аргументы, кроме одного, то ФНП порождает функцию одного аргумента, для которой можно рассматривать приращение, дифференциал и производную. Их мы будем называть соответственно частным приращением, частным дифференциалом и частной производной. Перейдем к точным определениям.  

Определение 9. Пусть задана функция  переменных  где  - элемент евклидова пространства и соответствующие приращения аргументов , ,…, . При  величины , называются частными приращениями функция . Полное приращение функции  - это величина .

Например, для функции двух переменных , где  - точка на плоскости и ,  соответствующие приращения аргументов, частными будут приращения , . При этом величина  является полным приращениями функции двух переменных .

Определение 10. Частной производной функции  переменных  по переменной  называется предел отношения частного приращения функции по этой переменной к приращению соответствующего аргумента , когда  стремится к 0.

Запишем определение 2 в виде формулы  или развернуто . Для функции двух переменных  определение 2 запишется в виде формул , . С практической точки зрения данное определение означает, что при вычислении частной производной по одной переменной все остальные переменные фиксируются и мы рассматриваем данную функцию как функцию одной выбранной переменной. По этой переменной и берется обычная производная.

Пример 4. Для функции , где  найдите частные производные и точку, в которой обе частные производные равны 0.

 Решение. Вычислим частные производные ,  и систему  запишем в виде Решением этой системы являются две точки  и .

Рассмотрим теперь, как понятие дифференциала обобщается на ФНП. Функция одной переменной  называется дифференцируемой, если ее приращение  представляется в виде , при этом величина  является главной частью приращения функции и называется ее дифференциалом. Величина  является функцией от , обладает тем свойством, что , т. е.  является функцией, бесконечно малой по сравнению с . Функция одной переменной дифференцируема в точке тогда и только тогда, когда имеет производную в этой точке. При этом константа  и равна этой производной, т. е. для дифференциала справедлива формула .

Если рассматривается частное приращение ФНП , то меняется только один из аргументов, и это частное приращение можно рассматривать как приращение функции одной переменной, т. е. работает та же теория. Следовательно, условие дифференцируемости  выполнено тогда и только тогда, когда существует частная производная , и в этом случае частный дифференциал определяется формулой .

А что же такое дифференциал ФНП?

Определение 11. Функция  переменных  называется дифференцируемой в точке , если ее приращение  представляется в виде . При этом главная часть приращения называется дифференциалом ФНП.

Итак, дифференциалом ФНП является величина . Уточним, что мы понимаем под величиной , которую мы будем называть бесконечно малой по сравнению с приращениями аргументов . Это функция, которая обладает тем свойством, что если все приращения, кроме одного , равны 0, то справедливо равенство . По сути это означает, что = = + +…+ .

А как связаны между собой условие дифференцируемости ФНП и условия существования частных производных этой функции?

Теорема 1. Если функция  переменных  дифференцируема в точке , то у нее существуют частные производные по всем переменным в этой точке и при этом .

Доказательство. Равенство  запишем при  и  в виде  и раздели обе части полученного равенства на . В полученном равенстве  перейдем к пределу при . В итоге мы и получим требуемой равенство . Теорема доказана.

Следствие. Дифференциал функции  переменных  вычисляется по формуле .

В примере 1 дифференциал функции  был равен . Заметим, что этот же дифференциал в точке  равен . А вот если мы его вычислим в точке  с приращениями , , то дифференциал будет равен . Заметим, что , точное значение заданной функции в точке  равно , а вот это же значение, приближенно вычисленное с помощью 1-го дифференциала, равно

А будет ли функция нескольких переменных дифференцируема в точке, если она имеет частные производные в этой точке. В отличии от функции одной переменной ответ на этот вопрос отрицательный. Точную формулировку взаимосвязи дает следующая теорема.

Теорема 2. Если у функции  переменных  в точке  существуют непрерывные частные производные по всем переменным, то функция  дифференцируема в этой точке.

Доказательство. Для наглядности рассмотрим функцию двух переменных  и точки , , . Полное приращение функции в точке  представим в виде    и запишем

в виде . В каждой скобке меняется только одна переменная, поэтому мы можем и там и там применить формулу конечных приращений Лагранжа. Суть этой формулы в том, что для непрерывно дифференцируемой функции одной переменной разность значений функции в двух точках равна значению производной в некоторой промежуточной точке, умноженному на расстояние между точками. Применяя эту формулу к каждой из скобок, получим . В силу непрерывности частных производных производная  в точке  и производная  в точке  отличаются от производных  и  в точке  на величины  и , стремящиеся к 0 при , стремящихся к 0. Но тогда  и, очевидно, .  Теорема доказана.