Функции многих переменных. Предел и непрерывность ФМП

Под функцией мы понимаем отображение одного множества на другое. До сих пор мы рассматривали функцию вида , которая реализовывала отображение множества на оси абсцисс (область определения функции) на множество на оси ординат (множество значений функции ).

Под функцией нескольких переменных мы будем понимать отображение множества в -мерном евклидовом пространстве  (область определения функции) на множество на оси (множество значений функции). Тем самым функция нескольких переменных может быть записана в виде , где  - элемент евклидова пространства. Можно использовать запись .

Изучая функцию одной переменной , мы изучали числовые последовательности, предел числовой последовательности, предел функции, непрерывность функции, точки экстремума функции.

Наша цель – построить и изучить аналогичную теорию для ФМП. Этот раздел посвящен вопросам, связанным с пределами и непрерывностью функций.

Давайте вспомним, что такое предел функции одной переменной. Предел функции  (по Коши) при , стремящимся к , равен , если для каждого, сколь угодно малого положительного числа  найдется положительное число , обладающее следующим свойством. Если расстояние от точки  до не равной ей точки  меньше , то модуль разности чисел  и  меньше наперед заданного числа  ( ).

Для того, чтобы дать это и аналогичные определения для ФМП, надо ввести расстояние между точками – аргументами ФНП (=ФМП). Это делают следующим образом. Пусть начало координат с ортонормированным базисом находится в точке  и заданы две точки  и . Рассмотрим векторы ,  и определим скалярное произведение этих векторов формулой . Несложно проверить, что все свойства скалярного произведения выполнены. Именно так и принято вводить скалярное произведение в евклидовом пространстве.

При наличии скалярного произведения, которое гарантированно есть в евклидовом пространстве, можно ввести длину вектора и расстояние между точками евклидова пространства, что позволяет обобщить понятия предела последовательности, предела функции, непрерывности функции на случай ФНП.

Длиной вектора  мы назовем квадратный корень из его скалярного квадрата, т. е. . Расстоянием между точками  и  равно длине вектора , их соединяющего, т.е. .

Заметим, что это определение обобщает обычное расстояние между точками на плоскости и в пространстве, известные нам из школы.

Пример 1. Расстояние между точками  и  на плоскости равно длине вектора , их соединяющего, т.е. . Расстояние между точками  и  в пространстве равно длине вектора , их соединяющего, т. е. .

Сформулируем определение предела для последовательности точек в евклидовом пространстве.

Определение 6. Пусть задана последовательность точек , ,…, ,…. Мы будем говорить, что число  является пределом этой последовательности, т. е. , если для каждого, сколь угодно малого положительного числа  найдется номер , зависящий от , такой что при выполнении условия  выполнено условие . ( ).

Пример 2. Заметим, что условию  удовлетворяют точки -окрестности точки . В одномерном случае для функции одной переменной окрестностью точки на оси является интервал длины . Для плоскости – пространства размерности 2 такой -окрестностью является внутренность круга радиуса . Для реально пространства – пространства размерности 3 такой -окрестностью является внутренность шара радиуса .

Сформулируем определение предела для ФНП.

Определение 7. Пусть задана функция  переменных  где  - элемент евклидова пространства. Мы будем говорить, что число  является пределом этой функции, т. е. , если для каждого, сколь угодно малого положительного числа  найдется положительное число , обладающее следующим свойством. Если расстояние от точки  до не равной ей точки  меньше , то модуль разности чисел  и  меньше . Формально это записывается в виде: .

Это определение соответствует определению предела функции одной переменной по Коши, которое эквивалентно определению предела функции по Гейне. Формулировка определения предела функции по Гейне, которая сохраняется для функции нескольких переменных, заключается в записи . Смысл этого в том, что  означает с учетом области определения, что из того, что предел последовательности аргументов равен , следует, что предел соответствующих значений функции равен .

Перейдем к определению непрерывности ФНП. Здесь полностью сохраняются формулировки определения непрерывности для функции одной переменной. Функция непрерывна в точке, если предел функции при подходе к этой точке равен значению функции в этой точке. Запишем это формально.

Определение 8. Пусть задана функция  переменных  где  - элемент евклидова пространства. Мы будем говорить, что функция  непрерывна в точке , если .

Соответственно функция непрерывна на множестве, если она непрерывна в каждой точке этого множества.

Пример 3. Найдите пределы функций: а) , б)  и исследуйте функции в) , г)  на непрерывность.

Докажем, что  не существует. В самом деле, пусть мы приближаемся к предельной точке  по прямой . На этой прямой значение функции  равно , т. е. во всех точках, кроме предельной, равно . Эта величина зависит от , следовательно,  не существует.