Лекция 1 Матрицы и матричные операции

Матрицей размерности m×n называется совокупность чисел, расположенных в виде таблицы, содержащей m строк и n столбцов.

Если матрица состоит из одной строки, то она называется матрицей – строкой размерности 1×n.

Если матрица состоит из одного столбца, то она называется матрицей – столбцом размерности m×1.

При n=m матрица называется квадратной матрицей n–го порядка.

Элементы матрицы, a_ij, у которых номер строки равен номеру столбца, называются диагональными и образуют главную диагональ матрицы.

Если все недиагональные элементы квадратной матрицы равны нулю, то матрица называется диагональной.

Если у диагональной матрицы n–го порядка все диагональные элементы равны единице, то матрица называется единичной матрицей n–го порядка, она обозначается E.

Матрица любого размера называется нулевой, или нуль – матрицей, если все её элементы равны нулю.

Рассмотрим операции над матрицами.

1. Сложение (вычитание) матриц.

Суммой (разностью) матриц A и B одинакового типа называется матрица C того же типа, элементы которой равны сумме (разности) соответствующих элементов исходных матриц A и B.

2. Умножение матрицы на число.

Произведением матрицы A на число называется матрица C того же типа, что и A, элементы которой равны произведению соответствующих элементов матрицы A на число . Возможно сделать и обратную опера-цию: упростить элементы матрицы вынесением за матрицу общего множителя.

3. Умножение матрицы на матрицу.

Произведением матрицы A размера ( m1 n1)на матрицу B размера

( m 2 n2) называется матрица C размера ( m1					n2),элементы которой оп-
ределяются по формуле:
		n1		, ( i=1,2....m1;	j=1,2...n2).
C		a	b			(1.1)
i , j	k	i , k	k , j
		1

Умножение матриц возможно в случае, когда число столбцов матрицы A равно числу строк матрицы B.

4. Операция транспонирования матрицы.

Операция транспонирования заключается в перемене местами строк и столбцов с сохранением их номеров.

Определителем (детерминантом) n-го порядка квадратной мат рицы A(n х n) называется алгебраическая сумма всех возможных произведений ее элементов, взятых по одному из каждой строки и каждого столбца. Причем знак каждого слагаемого определяется числом инверсий в перестановках из первых и вторых индексов членов сомножителей.

Общая формула расчета определителя выражается:

j₁, j₂... j_n

где j – индексы столбцов определителя; t – число инверсий в перестановке индексов столбцов.

Недостатком данного метода является его громоздкость. При вычислении определителей выше третьего порядка резко возрастает объем вычислений.

Метод вычисления определителя разложением его по элементам строки или столбца основан на теореме: любой определитель можно представить в виде суммы произведений элементов произвольной его строки или столбца на соответствующие алгебраические дополнения А_i,j:

Под алгебраическим дополнением (A_i,j) определителя D понимается дополнительный минор к элементу a_i,j:

A_{i , j} (  1)^{i j} M ,

где i, j – номера строки и столбца элемента.

Разложение определителя по элементам столбца или строки проще всего, когда в этой строке или столбце имеется единственный ненулевой элемент. Тогда определитель равен произведению этого элемента на его алгебраическое дополнение. К такому виду можно преобразовать определитель путем операций над его строками или столбцами, используя его основные свойства.

Наиболее просто вычисляется определитель диагональной и треугольной матрицы. Он равен произведению его диагональных элементов. Метод заключается в преобразовании исходного определителя путем элементарных операций, основанных на свойствах определителя, к диагональной или треугольной форме.